标签：转化 ref 不能 problem 大小 测试 lock 网络流 最优
https://www.luogu.com.cn/problem/P2765
假设有 \(n\) 根柱子，现要按下述规则在这 $ n $ 根柱子中依次放入编号为 $ 1, 2, 3, 4, \cdots $ 的球。
- 每次只能在某根柱子的最上面放球。
- 在同一根柱子中，任何 \(2\) 个相邻球的编号之和为完全平方数。
试设计一个算法，计算出在 $ n $ 根柱子上最多能放多少个球。
\(n \leq 55\)
从小到大枚举答案，动态在和为平方数的数对中加边，相当于判断 DAG 上的最小路径覆盖数是否 \(\leq n\)。
求 DAG 上的最小路径覆盖，可以将每个点拆成一个入点和一个出点，对于原图的边 \((u,v)\)，我们就从 \(u\) 的出点连向 \(v\) 的入点，注意一个点只能有至多一个入边和一个出边，于是转化成总点数减去二分图最大匹配。
实际测试出来，最后答案最大为 \(1567\)。
本题还有一个贪心做法，值得探究。
这个贪心做法是这样的：每次和当前的每根柱子的顶部的球求和，判断能否放上去，能放就直接放上去，不能放就不放。
证明参考：http://kczno1.blog.uoj.ac/blog/2724
可以证明。用数学归纳法证明贪心法每次的选择是唯一的(即，只能把球放到0或1个已经放了球的柱子上)，且答案为(一个简单式子，暂不剧透)。用Dilworth定理可以证明这个是最优的(hint:柱子的顶端构成一个反链)。 这个算法work是因为“加起来是平方数”的性质很好。改成其他条件就做不了了。
具体的证明：
同样若 \(a<b\) 且 \(a+b\) 为完全平方数，我们连边 \(a\to b\)。
首先归纳证明选择方案唯一（即对于每个 \(x\)，如果有放在它上面的球，那么一定是 \(x\) 的出边中编号最小的点），这里只讲关键归纳步骤。
假设 \(a<b<c\)，现在要加入 \(c\)。即假设 \(a,b\) 出边中最小的点都是 \(c\)，设 \(a+c=x^2,b+c=y^2\)。那么有下图的大小关系：
我们发现 \(x^2-(x-1)^2<y^2-x^2=b-a\)，于是 \((x-1)^2-a>c-b+a>a\)，那么 \(a\) 一定可以连向一个更小的点 \((x-1)^2-a\)。因此按照这种策略，每次都至多只能找到一个合法位置放在它上面。
同时我们也能证明柱子的顶端那些数构成一个反链。而根据 Dilworth 定理，任意反链 $\leq $ 最小链覆盖 $\leq $ 最小路径覆盖，因此这是最优解。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/cyx0406/p/12984484.html
