完全背包问题(含数学分析)

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

/*朴素解法*//*使用dp来做*/import java.util.*;

public class Main{

    private static Scanner sc=new Scanner(System.in);
    public static void main(String[] args){
        int N=sc.nextInt();//物件个数
        int V=sc.nextInt();//背包容量
        int[] v=new int[N+1];//物件体积
        int[] w=new int[N+1];//物件质量
        for(int i=1;i<N+1;i++){
            v[i]=sc.nextInt();
            w[i]=sc.nextInt();
        }
        /****运行代码****/
        int[][] dp=new int[N+1][V+1];//定义状态转移数组  
        for(int i=1;i<N+1;i++){
            for(int j=0;j<V+1;j++){
                if(j>=v[i]){
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
                }else{
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[N][V]);
    } 
}

分析：
将问题分为选与不选，选可能选多少；
在j>kv的范围内：
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-V]+W,dp[i-1][j-2V]+2W,...,dp[i-1][j-kV]+kW,...);
dp[i][j-V]=max(dp[i-1][j-V],dp[i-1][j-2V]+W,dp[i-1][j-3V]+2W,...,dp[i-1][j-(k+1)V]+kW,...);
经过发现：
dp[i-1][j-V]+W,dp[i-1][j-2V]+2W,...,dp[i-1][j-kV]+kW,... --> dp[i][j-V]+W;
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-V]+W);

/*滚动数组优化*/
import java.util.Scanner;
public class Main{
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        Scanner reader = new Scanner(System.in);
        int N = reader.nextInt();
        int V = reader.nextInt();
        int[] v = new int[N + 1] ;
        int[] w = new int[N + 1] ;

        for (int i=1 ; i <= N ; i++){
            v[i] = reader.nextInt();
            w[i] = reader.nextInt();
        }
        reader.close() ;
        
        int[] dp = new int[V+1];
        for(int i = 1; i <= N; i++){
            for(int j = 0; j <=V; j++){
                if(j >= v[i]){
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[V]);
    }
}

分析：

dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
1.dp[j]-->dp[i][j];
2.for(int j = 0; j <=V; j++)是由小到大遍历；
3.j-v[i]<j成立；所以dp[j-v[i]]比dp[j]要早算出；
4.dp[j-v[i]]-->dp[i][j-v[i]]
故此：两式子等价；

ps：动态规划的优化问题，都是代码等式之间的转换，理论上是对空间进行优化；