DP从入土到入门

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做一大堆DP

P5017 摆渡车

详见 P5017 摆渡车 - Luckyblock

算法一

设 \(f_i\) 在 \(i\) 时间发车，发车时等待的时间和的最小值。则显然有：

对于每个 \(f_i\)，当在 \(i\) 时刻时发第一班车，\(f_i\)最大，则其初始值为：

为保证载上所有人，最后一班车需在 \([t_{max}, t_{max}+m)\)内发车，则：

前缀和优化，设 ：

对于上式中的 \(\sum\limits_{j < t_k \le i}{i-t_k}\)，有：

替换状态转移方程。

优化转移方程，对于状态转移方程：

显然，若 \(j\le i-2m\)，则在 \(j+m\) 时刻可多发一班车，不影响在 \(i\) 时刻发车，且答案不会变劣。
即：停车时间 \(i- (j+m) < m\)。

故转移方程可替换为：

减去无用状态。

若 \(cnt_i=cnt_{i-m}\)，说明时间段 \([i-m,i]\)内没有需要坐车的人。
则在 \(i-m\) 时刻发车，在 \(i\) 时刻不发车，不会使答案变劣，\(f_i\) 是一个无用状态。

则可将状态转移方程改为：
\(f_i = \begin{cases}f_{i-m} &cnt_i=cnt_{i-m}\\ \min_{i-2m\le j\le i-m}(f_j + (cnt_i-cnt_j)\times i - (pos_i-pos_j))& \text{otherwise}\end{cases}\)

当满足 \(t_i = t_{i-1}+m\) 时，有用的位置最多，为 \(nm\) 个。

复杂度 \(O(nm^2 + t)\)，期望得分 \(100\text{pts}\)。

算法二

由算法一，停车时间 \(i- (j+m) < m\)。
车往返一次时间 \(m\)，则人等车时间 \(< 2m\)。

设 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个人，等待时间为 \(j\)，且前 \(i\) 个人已到达的时间最小值。

初始值 \(f_{1,i} = i\)。

分类讨论：

1. 若 \(t_{i+1} \le t_{i+1} + j\)，则第 \(i+1\) 个人可和 第 \(i\) 个人坐同一辆车走。
   第 \(i+1\) 个人的等待时间 \(k = t_i+j-t_{i+1}\)
   状态转移方程式为：

2. 否则，枚举第 \(i+1\) 个人的等待时间 \(k\)。
   \[k\in [\max(0, t_i + j + m - t_{i+1}), 2m) \]
   状态转移方程式同上，为：
   \[f_{i+1,k} = \min (f_{i+1}, k, f_{i,j} + k) \]

复杂度 \(O(nm^2)\)，期望得分 \(100\text{pts}\)。

代码 P5017 摆渡车 - Luckyblock

P4910 【帕秋莉的手环】

题目要求:

给定一个长度为 \(n\) 的环，填入 金色或绿色。
不能有两个相邻的绿色。
多组数据, \(T\le 10, n\le 10^{18}\)

矩阵加速模板。

设 \(f_{i,0/1}\) 为当前填到第 \(i\) 位，第一个位置为 金色/绿色 的合法方案数。
分成第一个位置为 绿/金讨论：

1. 第一个位置为绿色时，\(f_{1,0} = 0,f_{1,1} = 1\)。
   由于不能有两个相邻的绿色，则结尾珠子必为金色。
   其对答案的贡献为 \(f_{n,0}\)
2. 第一个位置为金色时，\(f_{1,0} = 1, f_{1,1} = 0\)。
   此时结尾珠子颜色任意。
   其对答案的贡献为 \(f_{n,0} + f_{n,1}\)

状态转移方程：
\(f_{i,0} = f_{i-1,0} + f_{i-1,1}\)
\(f_{i,1} = f_{i-1,0}\)

复杂度 \(O(Tn)\)，期望得分 \(\text{60pts}\)。

上式显然可矩阵加速，转移矩阵如下：

复杂度 \(O(T\log n)\)，期望得分 \(\text{100pts}\)。

代码 P4910 【帕秋莉的手环】 - Luckyblock

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原文地址：https://www.cnblogs.com/luckyblock/p/13121167.html