接上一节课，这一节课的主题是如何利用 Regularization 避免 Overfitting。通过给假设集设定一些限制条件从而避免  Overfitting，但是如果限制条件设置的不恰当就会造成 Underfitting。最后讲述了选择 Regularization 的一些启发式方法。

课程大纲：

1、Regularization

2、Weight decay

3、Choosing a regularizer

R 有两种方法：

1) Mathematical 

函数近似过程的病态问题。

2) Heuristic

妨碍 Ein 的最小化过程。

本节主要介绍第二种方法。

模型（假设集）：Legendre Polynomials + Linear Regression 

之所以选择该模型进行讲解，是因为该模型能够简化我们的推导。利用其他的模型也可以，但是将会增加推导的难度，对于讲解问题，这毫无益处。

通过 Legendre 函数，我们把 x 空间下的数据映射到 Z 空间。然后就可以利用之前学习过的 Linear Regression 知识进行计算、推导。

下面的思路主要就是在 Hq 的前提下增加一些限制条件。（具体是什么限制条件，具体问题具体分析，然而也有一些指导性原则，因此该限制条件是的设定是 heuristic （启发式）的，比如之前讲过的 H2 和 H10 就是在 H10的模型下增加一些限制条件，从而变成 H2，这叫硬性限制）然后在满足该限制条件的前提下求出最小的 Ein，一般都是用求导 = 0 的方法求得。

首先先看看在没有设置限定条件的时候，求得的 W 值（Wlin）

在增加限制条件下：为了表述方便，令此时计算得到的 W 为 Wreg

现在的全部问题就是求出 Wreg，在学习其它的方法（如支持向量机，KKT 等）前，下面利用的方法是不严谨的，是基于对图形的分析而得出来的。

红色的圈表示的是限制条件，我们的目的就是在该圈内找到一个W 使得 Ein 最小。图中的线都是等高线，箭头表示的是最大梯度方向。Wlin表示在没有限制条件的情况下得到的最小的Ein对应的W值。为了得到最小的 Ein，可以不断缩小蓝色圈，使得图中两个圈相切，此时有 Ein 最小，切点就是对应的 W （假设Wlin不包含在红色圈中，否则限制条件也就没有意义了），此时有蓝色箭头和红色箭头在同一条直线上而且方向相反，即 ▽Ein(Wreg) 正比于 -Wreg。为了方便，我们假设比例系数是：-2λ/N，之所以要加上 常系数是因为这样有利于推导过程的顺利进行，λ 的取值将直接对结果产生影响。最后一步的最小化结果就是解。（求导 = 0得到的等式跟倒数第二个等式形式一致，这也是为什么要加上那两个常系数的原因），为了方便，令最后一个等式为 Eaug(W),表示增加限制条件下的 Ein。

有了上面的分析，现在问题的求解就很容易了，如下：

当 λ 取不同的值得时候会有不同的表现，当 λ 无限大，则 Wreg = λI，因此无法进行学习。当 λ 变为 0 的时候就退化为没有限制条件下的学习问题。下面看看当 λ 取不同的值对于结果的影响：

可以看到，如果我们能够找到一个好的 λ 将会对学习结果产生非常积极的影响，反之，则会使得学习陷入另一个极端：Underfitting，根本就把数据给无视了，好人坏人一起干掉！。因此选取的时候需要小心。

上面对 Eaug的最小化过程叫做 Weight decay。why？

在神经网络中有类似下面的公式：

当 λ 很小的时候，其效果相当于减少 W(t)，因此叫做 decay。可是，为什么一定要减少？如果增加会怎样？按照经验，如果增加 W(t) 会使得结果变得糟糕，如下图：

在这种情况下，只有当 λ 等于 0 的时候才能最小化 Eout，此时相当于没有限制条件。当然，这些只是一些指导性的规则，并没有严格的数学限制。其实机器学习很多时候都是这样，基于一个假设，然后进行学习。学习的效果跟假设有很大的关系。或者说假设的好坏直接影响到机器学习的效果。

事实上，我们的限制条件可以是多样的，比如，我们可以在上述的限制条件下增加一些参数，使得对于不同项的系数拥有不同的限制条件：

  

一般化：

令 Ω = Ω(h),其中 Ω 表示Regularizer。通过 Ω 对假设集增加限制条件。

现在就是要最小化：Eaug(h)  = Ein(h) + λ/N*Ω(h)