标签：wmf 线性代数 isp splay 范德蒙行列式 逆序 考研 n个元素 rod
行列式
行列式就是一个数或者一个式子
定义
- 逆序： 若\(i<j - (i,j)\)称为正序，若\(i>j - (i,j)\)称为逆序
- 逆序数：一个排列里面包括的逆序的总个数
- n阶行列式：n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项
- 余子式：行列式划去该元素所在的行与列的各元素,剩下的元素按原样排列,得到的新行列式
- 代数余子式：行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积
- \(A_{ij}=(-1)^{(i+j)}M_{ij}\) 其中 \(A_{ij}\)为代数余子式，\(M_{ij}\)为余子式
易算行列式
- 对角行列式：上三角，下三角，对角都为主对角线乘积
- 范德蒙行列式
\[V_n=
\left[
\begin{matrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \ a^2_1 & a^2_2 & \cdots & a^2_n \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \a^{n-1}_1 & a^{n-1}_2 & \cdots & a^{n-1}_n \\end{matrix}
\right]=\prod_{1\leq j<i\leq n}(a_i-a_j)
\]
\(V_n!=0\) 充分必要 \(a_1,a_2,a_3 \cdots a_n\)两两不等
计算性质
- 行列式与其转化行列式相等，即\(D=D^T\)
- 对调两行或者两列改变符号
- 行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面
- 若行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式值为零
- 若行列式某两行（或列）元素相同或者成比例，则该行列式值为零
\[\left[
\begin{matrix}
a_1+b_1 & c_1 \ a_2+b_2 & c_2 \\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
a_1 & c_1 \ a_2 & c_2 \\end{matrix}
\right]
+
\left[
\begin{matrix}
b_1 & c_1 \b_2 & c_2 \\end{matrix}
\right]
\]
\[\left[
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\end{matrix}
\right]=
\left[
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \a_{j1}+ka_{i1} & a_{j2}+ka_{i2} & \cdots & a_{jn}+ka_{in} \\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\end{matrix}
\right]
\]
矩阵
向量
线性方程组
矩阵的特征值和特征向量
二次型
考研线性代数
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原文地址：https://www.cnblogs.com/xxhao/p/13124454.html
