RSA加密与实践

互质关系
中国剩余定理
欧拉φ函数
费马-欧拉定理（数论）
最大公因子
扩展欧几里得算法

涉及的结论
1. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61
2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10
3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57
4. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99
5. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56
6. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15

取两个质数n、m，则对于任意正整数x < n * m，均有唯一的（a，b）数对使得a = x mod n、b = x mod m
例：
取n = 3，m = 5，则n * m = 15
x   a  b
14  2  4
13  1  3
12  0  2
11  2  1
10  1  0
9   0  4
8   2  3
7   1  2
6   0  1
5   2  0
4   1  4
3   0  3
2   2  2
1   1  1
其中a有n - 1个不为0的值，b有m - 1个不为0的值

对正整数n，欧拉函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目

因为需要将比n小且不互质的整数去除掉，则根据容斥定理，可以得到

即φ函数公式为：

当n=p*q，其中p和q均为质数时，乘积性质证明：
方法一：

   ①

  证毕

  方法二：

  根据中国剩余定理，x与（a，b）数对一一对应，则：

  当a、b均不为0时，（a，b）所对应的x与n * m互质，因为n、m均为质数，则φ（n）= n - 1，φ（m）= m - 1

  根据排列组合，（a，b）数对的数量为φ（n）*φ（m），也等于φ（n * m）的数量，即φ（n * m）=φ（n）* φ（m）

  证毕

　例：

　与中国剩余定理中的红色行数量一致，并且通过剩余定理，可以有另一种思路推出φ函数公式，参考文末链接

若a与n互质，则

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1，即

 证明：

 因为a与n互质，则由②得

 即一定存在b，使得a与b为模反元素 

在③中，RSA算法一般将质数a取为65537，二进制表示为10000000000000001，因为绝大部分位置是0，因此简化了加密时的运算量
在1024位加密下，质数p和q随机取为512位二进制数，使得n为1024位，然后根据a和n，求得a的模反元素b
但是在实际计算过程中，如此大的幂运算，是几乎不可能直接计算出来的，因此使用了扩展欧几里得算法来计算

下面展示1024位加密算法的步骤
第一步：
随机取两个512位二进制长度的质数p和q，表示成十进制，以便后续运算
第二步：
计算p和q的乘积n，然后由①可得φ(n)=(p-1)(q-1)
第三步：
根据③，将a、b分别记为e、d，意为encode和decode，其中e常设为65537，也可使用其他质数，然后根据④求得d
第四步：
将e和n封装为公钥，d和n封装为私钥，将公钥发送给用户，然后将私钥保存在服务器端
使用方法：
用户使用公钥加密后传输给服务器，服务器使用储存的私钥解密即完成整个RSA加密流程

算法导论
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RSA算法原理（一）
http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html
ACM数论之旅7---欧拉函数的证明及代码实现（我会证明都是骗人的╮(￣▽￣)╭）
https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194170.html