码迷，mamicode.com
首页 > 其他好文 > 详细

多项式入门教程

时间：2020-06-19 14:00:20      阅读：49      评论：0      收藏：0      [点我收藏+]

标签：||   二次   示例   size   const   lists   数值   pow   技能   

原文链接 https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/polynomial.html

由于之前的ppt版过于愚蠢，而且之前使用的编辑器不是markdown，我在这里重发一个网页版的。

警告：本文中代码只作为示例。事实上，有比这里的代码好写一万倍的写法。(可能哪天我会改一改)

多项式基础操作

目录

  1. 多项式求逆
  2. 牛顿迭代
  3. 二次剩余
  4. 多项式开根
  5. 多项式对数函数
  6. 多项式指数函数
  7. 多项式快速幂
  8. 多项式除法、取模
  9. 多点求值与快速插值

前置技能

  1. 快速傅里叶变换(FFT) 和 快速数论变换(NTT)
    https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Fast-Fourier-Transform.html

多项式求导和积分

Poly Derivation(Poly A){
	for (int i=0;i<A.size()-1;i++)
		A[i]=(LL)A[i+1]*(i+1)%mod;
	A.pop_back();
	return A;
}
Poly Integral(Poly A){
	A.push_back(0);
	for (int i=A.size()-2;i>=0;i--)
		A[i+1]=(LL)A[i]*Fast :: Inv[i+1]%mod;
	A[0]=0;
	return A;
}

注：未知函数或变量参见最后的总模板。

一些记号

（可能并不规范？？）

为了便于描述，这里将用一下记号来表述相应的含义。

\(A(x)\) : 多项式 \(A\)

\(A[i]\) : 多项式 \(A\) 的 \(i\) 次项

\(A_2(x)\) : 多项式 \(A\) 更新后的结果

多项式求逆

给定多项式 \(B(x)\) ，求出多项式 \(A(x)\) ，使得

\[A(x)B(x) \equiv 1 \ (mod\ {x^n}) \]

其中多项式 \(A(x)\)、\(B(x)\) 只需要保留前 \(n\) 项（也就是 \(x^0\) 到 \(x^{n-1}\)）

做法

假设

\[A(x)B(x) \equiv 1 \ (mod\ {x^{2n}}) \]

则

\[(A(x)B(x)-1)^2\equiv 0 \ (mod \ x^{2n}) \]

\[A^2(x)B^2(x)-2A(x)B(x)+1\equiv 0 \ (mod \ x^{2n}) \]

左右同除以 \(B(x)\) ，得

\[A^2(x)B(x) -2A(x) +A_2(x)\equiv 0 \ (mod \ x^{2n}) \]

\[A_2(x)\equiv 2A(x)-A^2(x)B(x) \ (mod \ x^{2n}) \]

从常数项开始迭代，直到次数超过需要的 n 即可。

初始时 \(A[0] = B[0]^{-1}\)

时间复杂度

\[T(n) = T(n/2) + O(n\log n) = O(n\log n ) \]

垃圾代码

Poly Inverse(Poly a,int n){
	static Poly A,B;
	while (!a.empty()&&!a.back())
		a.pop_back();
	if (a.empty())
		return a;
	A.clear(),B.clear();
	B.push_back(a[0]);
	A.push_back(Pow(B[0],mod-2));
	for (int t=1;t<n;){
		for (int i=t;i<min(a.size(),(t<<1));i++)
			B.push_back(a[i]);
		t<<=1;
		A=A*2-A*A*B;
		while (A.size()>t)
			A.pop_back();
	}
	while (A.size()>n)
		A.pop_back();
	return A;
}

牛顿迭代

设有可导函数 \(F(x)\) ，我们想要快速求其零点。

牛顿迭代：

先任选一个 \(x\) ，作为起点。接下来重复进行以下过程：

  1. 求出 \(F(x)\) 在 \(x\) 处的切线斜率，即 \(F‘(x)\) 。
  2. 求出该切线与 \(x\) 轴交点的 \(x\) 坐标，即 \(x‘ = x - \frac{F(x)}{F‘(x)}\) 。

对于大多数函数，每一次牛顿迭代，x 的有效数位会增加一倍。也就是说大于只要 \(O(\log n)\) 次牛顿迭代就可以得到零点。这里 n 为精度要求的数位个数。

现在我们将一个数值 x 变成一个多项式 \(A(x)\) 。

在求 \(F(A(x))=0\) 的时候，也只需要记住这个公式就好了：

\[A_2(x) = A(x) - \frac{F(A(x))}{F‘(A(x))} \]

二次剩余

可以直接套用BSGS或者Cipolla算法。这里不展开介绍。

关于 Cipolla 算法可以去看文章最后感谢名单里的beginend的博客。

垃圾代码

算法：Cipolla。时间复杂度 \(O(\log p)\)。(const int mod=998244353;)

namespace Rem2{
	int INIT_TAG=0,t,w;
	#define fi first
	#define se second
	void init(){
		INIT_TAG=1;
		srand(‘C‘+‘L‘+‘Y‘+‘A‘+‘K‘+‘I‘+‘O‘+‘I‘);
	}
	pair <int,int> Mul_pii(pair <int,int> A,pair <int,int> B){
		static int a,b;
		a=((LL)A.fi*B.fi+(LL)A.se*B.se%mod*w)%mod;
		b=((LL)A.fi*B.se+(LL)A.se*B.fi)%mod;
		return make_pair(a,b);
	}
	pair <int,int> Pow_pii(pair <int,int> x,int y){
		pair <int,int> ans=make_pair(1,0);
		for (;y;y>>=1,x=Mul_pii(x,x))
			if (y&1)
				ans=Mul_pii(ans,x);
		return ans;
	}
	int Sqrt(int x){
		if (!INIT_TAG)
			init();
		if (x==0)
			return 0;
		if (Pow(x,(mod-1)/2)!=1)
			return -1;
		do {
			t=randint()%(mod-1)+1;
			w=((LL)t*t+mod-x)%mod;
		} while (Pow(w,(mod-1)/2)==1);
		pair <int,int> res=Pow_pii(make_pair(t,1),(mod+1)/2);
		return min(res.fi,mod-res.fi);
	}
}

多项式开根

给定多项式 \(B(x)\) ，求出多项式 \(A(x)\) 使得

\[A^2(x)\equiv B(x) \ (mod\ x^n) \]

做法

直接牛顿迭代即可。

令 \(F(A(x)) = A^2(x) - B(x)\)

\[A_2(x) = A(x) - \frac{F(A(x))}{F‘(A(x))}\=A(x)-\frac{A^2(x)-B(x)}{2A(x)}\=\frac 12 \left(A(x)+\frac{B(x)}{A(x)}\right) \]

初始时

\[A[0]=\sqrt{B[0]} \]

这里需要用到二次剩余。

时间复杂度

\[T(n)=T(n/2)+O(n\log n)=O(n\log n) \]

垃圾代码

Poly Sqrt(Poly a,int n){
	static Poly A,B;
	while (!a.empty()&&!a.back())
		a.pop_back();
	if (a.empty())
		return a;
	A.clear(),B.clear();
	B.push_back(a[0]);
	A.push_back(Rem2 :: Sqrt(B[0]));
	for (int t=1;t<n;){
		for (int i=t;i<min(a.size(),(t<<1));i++)
			B.push_back(a[i]);
		t<<=1;
		A+=B*Inverse(A,t);
		while (A.size()>t)
			A.pop_back();
		A*=499122177;
	}
	if (A[0]>mod-A[0])
		for (int i=0;i<A.size();i++)
			A[i]=(mod-A[i])%mod;
	while (A.size()>n)
		A.pop_back();
	return A;
}

多项式对数函数

给定多项式 \(F(x)\)，求 \(\ln(F(x))\ (mod\ x^n)\) 。

做法

由于

\[\ln(x) = \int \frac 1x \]

所以

\[\ln(F(x))=\int \frac{F‘(x)}{F(x)} \]

直接多项式求逆后相乘就好了。

时间复杂度

\[O(n\log n) \]

注意点

\(F(x)\) 的常数项必须是 \(1\) 。

否则设 \(G(x)=kF(x)\) ，则 \(\ln(G(x))=\ln(F(x))+\ln(k)\) ，其中 \(\ln(k)\) 难以用模意义下的数来表示。

容易得知 \(\ln(F(x))\) 的常数项是 \(0\) 。

垃圾代码

Poly Ln(Poly a,int n){
	while (!a.empty()&&!a.back())
		a.pop_back();
	if (a.empty()||a[0]!=1)
		return a;
	a=Integral(Derivation(a)*Inverse(a,n));
	while (a.size()>n)
		a.pop_back();
	return a;
}

多项式指数函数

给定多项式 \(F(x)\) ，求 \(e^{F(x)} \ (mod\ x^n)\) 。

做法

首先，设 \(e^{F(x)}=G(x) \ (mod\ x^n)\) ,则

\[F(x)-\ln(G(x))=0 \ (mod\ x^n) \]

利用设函数 \(Q(x)=F(x)-\ln(G(x))\) ，利用牛顿迭代得到：

\[G_2(x) = G(x)-\frac{Q(G(x))}{Q‘(G(x))}=G(x)-\frac{F(x)-\ln(G(x))}{-\frac{1}{G(x)}}\=G(x)(1+F(x)-\ln(G(x))) \]

时间复杂度

\[T(n)=T(n/2)+O(n\log n)=O(n\log n) \]

垃圾代码

Poly Exp(Poly a,int n){
	static Poly A,B;
	while (!a.empty()&&!a.back())
		a.pop_back();
	if (a.empty())
		return Poly(1);
	if (a[0]!=0)
		return a;
	A.clear(),B.clear();
	B.push_back(1);
	A.push_back(a[0]);
	for (int t=1;t<n;){
		for (int i=t;i<min(a.size(),(t<<1));i++)
			A.push_back(a[i]);
		t<<=1;
		B=B*(Poly(1)+A-Ln(B,t));
		while (B.size()>t)
			B.pop_back();
	}
	while (B.size()>n)
		B.pop_back();
	return B;
}

多项式快速幂

给定多项式 \(F(x)\) ，求 \(F^k(x)\ (mod\ x^n)\) 。

做法

令 \(F(x)=bx^aG(x)\) ，其中 \(a,b\) 为常数，\(G(x)\) 的常数项为 1 。则

\[F^k(x) = b^kx^{ak}G^k(x) = b^kx^{ak}e^{k\ln(G(x))} \]

时间复杂度

\[O(n\log n) \]

垃圾代码

Poly PolyPow(Poly x,int y,int n){
	static Poly A,B;
	int k0=0,kc,ivkc;
	while (!x.empty()&&!x.back())
		x.pop_back();
	if (x.empty())
		return x;
	while (k0<x.size()&&x[k0]==0)
		k0++;
	kc=x[k0],ivkc=Pow(kc,mod-2);
	A.clear();
	for (int i=k0;i<x.size();i++)
		A.push_back((int)((LL)x[i]*ivkc%mod));
	A=Exp(Ln(A,n)*y,n);
	B.clear();
	if ((LL)k0*y>=n)
		return B;
	kc=Pow(kc,y),k0*=y;
	for (int i=0;i<k0;i++)
		B.push_back(0);
	for (int i=0;i<min(A.size(),n-k0);i++)
		B.push_back((int)((LL)A[i]*kc%mod));
	while (B.size()>n)
		B.pop_back();
	return B;
}

多项式除法

给定多项式 \(F(x),G(x)\) ，求多项式 \(Q(x)\)，使得

\[F(x)=G(x)Q(x)+R(x) \]

其中 \(F(x),G(x)\) 分别是 \(n,m\) 次多项式。
\(Q(x),R(x)\) 分别是 \(n-m+1,m-1\) 次多项式。

做法

定义 \(F^R(x)\) 表示多项式 \(F(x)\) 系数翻转之后得到的结果。设 \(F(x)\) 最高次项为 \(x^{n-1}\) ，则

\[F^R(x)=x^{n-1}F(\frac 1x) \]

于是可得

\[F(x)=G(x)Q(x)+R(x)\F(\frac 1x)=G(\frac 1x)Q(\frac 1x)+R(\frac 1x)\x^{n-1}F(\frac 1x)=x^{m-1}G(\frac 1x)x^{n-m}Q(\frac 1x)+x^{n-m+1}x^{m-2}R(\frac 1x)\F^R(x)=G^R(x)Q^R(x)+x^{n-m+1}R^R(x) \]

\[F^R(x)=G^R(x)Q^R(x)+x^{n-m+1}R^R(x) \]

又由于\(Q^R(x)\) 最高次项为 \(x^{n-m}\)，所以

\[F^R(x)=G^R(x)Q^R(x)\ (mod\ x^{n-m+1})\\frac{F^R(x)}{G^R(x)}=Q^R(x)\ (mod\ x^{n-m+1}) \]

时间复杂度

\[O(n\log n) \]

垃圾代码

这里需要注意的是 \(m>n\) 要特判。

Poly operator / (Poly A,Poly B){//Divide
	int n=A.size(),m=B.size();
	reverse(A.v.begin(),A.v.end());
	reverse(B.v.begin(),B.v.end());
	int k=n-m+1;
	if (k<0)
		return Poly(0);
	while (A.size()>k)
		A.pop_back();
	while (B.size()>k)
		B.pop_back();
	A=A*Inverse(B,k);
	while (A.size()>k)
		A.pop_back();
	reverse(A.v.begin(),A.v.end());
	return A;
}

多项式取模

给定多项式 \(F(x),G(x)\) ，求多项式 \(R(x)\)，使得

\[F(x)=G(x)Q(x)+R(x) \]

其中 \(F(x),G(x)\) 分别是 \(n,m\) 次多项式。
\(Q(x),R(x)\) 分别是 \(n-m+1,m-1\) 次多项式。

做法

\[R(x)=F(x)-G(x)Q(x) \]

时间复杂度

\[O(n\log n) \]

垃圾代码

Poly operator % (Poly A,Poly B){//Modulo
	while (!A.empty()&&!A.back())
		A.pop_back();
	while (!B.empty()&&!B.back())
		B.pop_back();
	A=A-A/B*B;
	while (A.size()>=B.size())
		A.pop_back();
	while (!A.empty()&&!A.back())
		A.pop_back();
	return A;
}

多点求值

给定最高次项为 \(x^{m-1}\) 的函数 \(F(x)\) ，以及 \(n\) 个参数 \(x_{1\cdots n}\) ，求

\[F(x_1),F(x_2),\cdots,F(x_n) \]

做法

\[F(x_i)=(F(x)\ mod\ (x-x_i))[0] \]

即多项式 \(F(x)\ mod\ (x-x_i)\) 的常数项。
设

\[L(x) = \prod_{1\leq i\leq \lfloor \frac n2\rfloor} (x-x_i)\R(x) = \prod_{\lfloor \frac n2\rfloor<i\leq n} (x-x_i) \]

则对于 \(i\leq n/2\) ，\(F(x_i)=(F\ mod\ L)(x_i)\) ；
对于 \(i> n/2\) ，\(F(x_i)=(F\ mod\ R)(x_i)\) ；

先预处理得到所有的 \(L(x)\) 和 \(R(x)\) ，然后再分治求出答案即可。

时间复杂度

\[T(n)=2T(n/2)+O(n\log n)=O(n\log^2 n) \]

垃圾代码

namespace Qiuzhi{
	Poly P[N<<2],f[N<<2],M;
	vector <int> x,y;
	int n;
	void GetP(int rt,int L,int R){
		if (L==R){
			P[rt].clear();
			P[rt].push_back((mod-x[L])%mod);
			P[rt].push_back(1);
			return;
		}
		int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
		GetP(ls,L,mid);
		GetP(rs,mid+1,R);
		P[rt]=P[ls]*P[rs];
	}
	void qiuzhi(int rt,int L,int R){
		if (f[rt].empty())
			f[rt].push_back(0);
		if (L==R)
			return (void)(y[L]=f[rt][0]);
		int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
		f[ls]=f[rt]%P[ls];
		f[rs]=f[rt]%P[rs];
		qiuzhi(ls,L,mid);
		qiuzhi(rs,mid+1,R);
	}
	vector <int> Get_Val(vector <int> A,Poly F){
		n=A.size();
		x.clear(),y.clear();
		for (int i=0;i<n;i++){
			x.push_back(A[i]);
			y.push_back(0);
		}
		GetP(1,0,n-1);
		f[1]=F;
		qiuzhi(1,0,n-1);
		return y;
	}
}

快速插值

给定 \(n\) 对 \((x_i,y_i)\) ，求最高次项为 \(x^{n-1}\) 的多项式 \(F(x)\) 满足

\[\forall 1\leq i\leq n, \ f(x_i) = y_i \]

做法

考虑拉格朗日插值法

\[F(x) = \sum_{i=1}^{n}\frac {\prod_{j\ne i}(x-x_j)} {\prod_{j\ne i}(x_i-x_j)}y_i \]

令 \(M(x) = \prod_{i=1}^{n}(x-x_i)\)

\[M_i(x) = M(x)/(x-x_i) \]

令 \(t_i=\frac{y_i}{\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)}=\frac{y_i}{M_i(x_i)}\)
根据洛必达法则，当 \(x\rightarrow x_i\) 时，\(M_i(x)=\frac{M(x)}{x-x_i}\rightarrow M‘(x)\)，故

\[t_i=y_i/M‘(x_i) \]

设

\[L(x) = \prod_{1\leq i\leq \lfloor \frac n2\rfloor} (x-x_i)\R(x) = \prod_{\lfloor \frac n2\rfloor<i\leq n} (x-x_i) \]

则

\[F(x) = \sum_{i=1}^{n}t_i\prod_{j\ne i}(x-x_j)\=\left(\sum_{i=1}^{\lfloor \frac n2 \rfloor}t_i\prod_{j\neq i}(x-x_j)\right)R(x)+\left(\sum_{i=\lfloor \frac n2 \rfloor+1}^{n}t_i\prod_{j\neq i}(x-x_j)\right)L(x) \]

先预处理得到所有的 \(L(x)\) 和 \(R(x)\) ，然后再分治求出答案即可。

时间复杂度

\[T(n)=2T(n/2)+O(n\log n)=O(n\log^2 n) \]

垃圾代码

namespace Chazhi{
	Poly P[N<<2],M;
	vector <int> x,y;
	int n;
	void GetP(int rt,int L,int R){
		if (L==R){
			P[rt].clear();
			P[rt].push_back((mod-x[L])%mod);
			P[rt].push_back(1);
			return;
		}
		int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
		GetP(ls,L,mid);
		GetP(rs,mid+1,R);
		P[rt]=P[ls]*P[rs];
	}
	Poly chazhi(int rt,int L,int R){
		if (L==R)
			return Poly(y[L]);
		int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
		return chazhi(ls,L,mid)*P[rs]+chazhi(rs,mid+1,R)*P[ls];
	}
	Poly Get_Poly(vector <int> A,vector <int> B){
		n=A.size();
		x=A;
		int Product=1;
		GetP(1,0,n-1);
		M=Derivation(P[1]);
		y=Qiuzhi :: Get_Val(A,M);
		for (int i=0;i<y.size();i++)
			y[i]=(LL)B[i]*Pow(y[i],mod-2)%mod;
		return chazhi(1,0,n-1);
	}
}

垃圾代码汇总

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch==‘-‘,ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=1<<18,mod=998244353;
void Add(int &x,int y){
	if ((x+=y)>=mod)
		x-=mod;
}
void Del(int &x,int y){
	if ((x-=y)<0)
		x+=mod;
}
int del(int x,int y){
	return x-y<0?x-y+mod:x-y;
}
int Pow(int x,int y){
	int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
		if (y&1)
			ans=(LL)ans*x%mod;
	return ans;
}
int randint(){
	return ((rand()&65535)<<15)^(rand()&65535);
}
namespace Rem2{
	int INIT_TAG=0;
	int t,w;
	#define fi first
	#define se second
	void init(){
		INIT_TAG=1;
		srand(‘C‘+‘L‘+‘Y‘+‘A‘+‘K‘+‘I‘+‘O‘+‘I‘);
	}
	pair <int,int> Mul_pii(pair <int,int> A,pair <int,int> B){
		static int a,b;
		a=((LL)A.fi*B.fi+(LL)A.se*B.se%mod*w)%mod;
		b=((LL)A.fi*B.se+(LL)A.se*B.fi)%mod;
		return make_pair(a,b);
	}
	pair <int,int> Pow_pii(pair <int,int> x,int y){
		pair <int,int> ans=make_pair(1,0);
		for (;y;y>>=1,x=Mul_pii(x,x))
			if (y&1)
				ans=Mul_pii(ans,x);
		return ans;
	}
	int Sqrt(int x){
		if (!INIT_TAG)
			init();
		if (x==0)
			return 0;
		if (Pow(x,(mod-1)/2)!=1)
			return -1;
		do {
			t=randint()%(mod-1)+1;
			w=((LL)t*t+mod-x)%mod;
		} while (Pow(w,(mod-1)/2)==1);
		pair <int,int> res=Pow_pii(make_pair(t,1),(mod+1)/2);
		return min(res.fi,mod-res.fi);
	}
}
namespace Polynomial{
	namespace Fast{
		const int N=1<<18;
		int n,Log[N+1],Fac[N+1],InvFac[N+1],Inv[N+1];
		int ww[N*2],*Ew=ww,*w[N+1];
		int iww[N*2],*Ei=iww,*iw[N+1];
		int INIT_TAG=0;
		void init(int _n){
			INIT_TAG=1;
			Log[1]=0,n=_n;
			for (int i=2;i<=N;i++)
				Log[i]=Log[i>>1]+1;
			for (int i=Fac[0]=1;i<=N;i++)
				Fac[i]=(LL)Fac[i-1]*i%mod;
			InvFac[N]=Pow(Fac[N],mod-2);
			for (int i=N;i>=1;i--)
				InvFac[i-1]=(LL)InvFac[i]*i%mod;
			for (int i=1;i<=N;i++)
				Inv[i]=(LL)InvFac[i]*Fac[i-1]%mod;
			for (int d=0;d<=Log[n];d++){
				w[d]=Ew,iw[d]=Ei;
				int n=1<<d;
				w[d][0]=1,w[d][1]=Pow(3,(mod-1)/n);
				for (int i=2;i<n;i++)
					w[d][i]=(LL)w[d][i-1]*w[d][1]%mod;
				iw[d][0]=1,iw[d][1]=Pow(w[d][1],mod-2);
				for (int i=2;i<n;i++)
					iw[d][i]=(LL)iw[d][i-1]*iw[d][1]%mod;
				Ew+=n,Ei+=n;
			}
		}
		int Rev[N+1],A[N+1],B[N+1];
		void FFT(int a[],int n,int **w){
			if (!INIT_TAG)
				init(N);
			for (int i=0;i<n;i++)
				if (Rev[i]<i)
					swap(a[i],a[Rev[i]]);
			for (int t=1,d=1;d<n;t++,d<<=1)
				for (int i=0;i<n;i+=(d<<1))
					for (int j=0,*W=w[t];j<d;j++){
						int tmp=(LL)(*W++)*a[i+j+d]%mod;
						a[i+j+d]=del(a[i+j],tmp);
						Add(a[i+j],tmp);
					}
		}
		vector <int> Mul(vector <int> &a,vector <int> &b){
			static vector <int> res;
			res.clear();
			LL Br=(LL)a.size()*b.size();
			LL FF=(a.size()+b.size())*Log[a.size()+b.size()]*10+100;
			if (Br<=FF){
				for (int i=0;i<a.size()+b.size();i++)
					res.push_back(0);
				for (int i=0;i<a.size();i++)
					for (int j=0;j<b.size();j++)
						res[i+j]=((LL)a[i]*b[j]+res[i+j])%mod;
			}
			else {
				int n=1,d=0;
				for (;n<a.size()+b.size();n<<=1,d++);
				for (int i=0;i<n;i++)
					Rev[i]=(Rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1)),A[i]=B[i]=0;
				for (int i=0;i<a.size();i++)
					A[i]=a[i];
				for (int i=0;i<b.size();i++)
					B[i]=b[i];
				FFT(A,n,w),FFT(B,n,w);
				for (int i=0;i<n;i++)
					A[i]=(LL)A[i]*B[i]%mod;
				FFT(A,n,iw);
				int inv=Pow(n,mod-2);
				for (int i=0;i<n;i++)
					res.push_back((int)((LL)inv*A[i]%mod));
			}
			while (!res.empty()&&!res.back())
				res.pop_back();
			return res;
		}
		vector <int> MulInv(vector <int> &a,vector <int> &b){
			static vector <int> res;
			res.clear();
			int n=1,d=0;
			for (;n<a.size()*2+b.size();n<<=1,d++);
			for (int i=0;i<n;i++)
				Rev[i]=(Rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1)),A[i]=B[i]=0;
			for (int i=0;i<a.size();i++)
				A[i]=a[i];
			for (int i=0;i<b.size();i++)
				B[i]=b[i];
			FFT(A,n,w),FFT(B,n,w);
			for (int i=0;i<n;i++)
				A[i]=(LL)A[i]*A[i]%mod*B[i]%mod;
			FFT(A,n,iw);
			int inv=Pow(n,mod-2);
			for (int i=0;i<n;i++)
				res.push_back((int)((LL)inv*A[i]%mod));
			while (!res.empty()&&!res.back())
				res.pop_back();
			return res;
		}
	}
	struct Poly{
		vector <int> v;
		Poly(){
			v.clear();
		}
		Poly(int x){
			v.clear();
			v.push_back(x);
		}
		Poly(vector <int> x){
			v=x;
		}
		int operator ()(int x){
			int ans=0,y=1;
			for (int i=0;i<v.size();i++)
				ans=((LL)v[i]*y+ans)%mod,y=(LL)y*x%mod;
			return ans;
		}
		int size(){
			return v.size();
		}
		void print(){
			for (int i=0;i<v.size();i++)
				printf("%d ",v[i]);
		}
		void print(int x){
			for (int i=0;i<x;i++)
				printf("%d ",i>=v.size()?0:v[i]);
		}
		void print(string s){
			print(),cout << s;
		}
		void clear(){
			v.clear();
		}
		void push_back(int x){
			v.push_back(x);
		}
		void pop_back(){
			v.pop_back();
		}
		int empty(){
			return v.empty();
		}
		int back(){
			return v.back();
		}
		int &operator [](int x){
			return v[x];
		}
		void operator += (Poly A){
			while (v.size()<A.size())
				v.push_back(0);
			for (int i=0;i<A.size();i++)
				Add(v[i],A[i]);
		}
		void operator -= (Poly &A){
			while (v.size()<A.size())
				v.push_back(0);
			for (int i=0;i<A.size();i++)
				Del(v[i],A[i]);
		}
		void operator *= (Poly &A);
		void Derivation(){
			for (int i=0;i<v.size()-1;i++)
				v[i]=(LL)v[i+1]*(i+1)%mod;
			v.pop_back();
		}
		void Integral(){
			v.push_back(0);
			for (int i=v.size()-2;i>=0;i--)
				v[i+1]=(LL)v[i]*Fast :: Inv[i+1]%mod;
			v[0]=0;
		}
		void operator *= (int x){
			for (int i=0;i<v.size();i++)
				v[i]=(LL)v[i]*x%mod;
		}
	}pp;
	//struct Poly end-------------
	Poly operator + (Poly A,Poly B){
		pp.clear();
		for (int i=0;i<max(A.size(),B.size());i++)
			pp.push_back(0);
		for (int i=0;i<A.size();i++)
			Add(pp[i],A[i]);
		for (int i=0;i<B.size();i++)
			Add(pp[i],B[i]);
		return pp;
	}
	Poly operator - (Poly A,Poly B){
		pp.clear();
		for (int i=0;i<max(A.size(),B.size());i++)
			pp.push_back(0);
		for (int i=0;i<A.size();i++)
			Add(pp[i],A[i]);
		for (int i=0;i<B.size();i++)
			Del(pp[i],B[i]);
		return pp;
	}
	Poly operator * (Poly A,Poly B){
		return Poly(Fast :: Mul(A.v,B.v));
	}
	void Poly :: operator *= (Poly &A){
		v=Fast :: Mul(v,A.v);
	}
	Poly operator * (Poly A,int x){
		pp=A;
		for (int i=0;i<A.size();i++)
			pp[i]=(LL)pp[i]*x%mod;
		return pp;
	}
	Poly Inverse(Poly a,int n);
	Poly operator / (Poly A,Poly B){//Divide
		int n=A.size(),m=B.size();
		reverse(A.v.begin(),A.v.end());
		reverse(B.v.begin(),B.v.end());
		int k=n-m+1;
		if (k<0)
			return Poly(0);
		while (A.size()>k)
			A.pop_back();
		while (B.size()>k)
			B.pop_back();
		A=A*Inverse(B,k);
		while (A.size()>k)
			A.pop_back();
		reverse(A.v.begin(),A.v.end());
		return A;
	}
	Poly operator % (Poly A,Poly B){//Modulo
		while (!A.empty()&&!A.back())
			A.pop_back();
		while (!B.empty()&&!B.back())
			B.pop_back();
		A=A-A/B*B;
		while (A.size()>=B.size())
			A.pop_back();
		while (!A.empty()&&!A.back())
			A.pop_back();
		return A;
	}
	Poly Derivation(Poly A){
		for (int i=0;i<A.size()-1;i++)
			A[i]=(LL)A[i+1]*(i+1)%mod;
		A.pop_back();
		return A;
	}
	Poly Integral(Poly A){
		A.push_back(0);
		for (int i=A.size()-2;i>=0;i--)
			A[i+1]=(LL)A[i]*Fast :: Inv[i+1]%mod;
		A[0]=0;
		return A;
	}
	Poly Inverse(Poly a,int n){
		static Poly A,B;
		while (!a.empty()&&!a.back())
			a.pop_back();
		if (a.empty())
			return a;
		A.clear(),B.clear();
		B.push_back(a[0]);
		A.push_back(Pow(B[0],mod-2));
		for (int t=1;t<n;){
			for (int i=t;i<min(a.size(),(t<<1));i++)
				B.push_back(a[i]);
			t<<=1;
			A=A*2-Poly(Fast :: MulInv(A.v,B.v));
			while (A.size()>t)
				A.pop_back();
		}
		while (A.size()>n)
			A.pop_back();
		return A;
	}
	Poly Sqrt(Poly a,int n){
		static Poly A,B;
		while (!a.empty()&&!a.back())
			a.pop_back();
		if (a.empty())
			return a;
		A.clear(),B.clear();
		B.push_back(a[0]);
		A.push_back(Rem2 :: Sqrt(B[0]));
		for (int t=1;t<n;){
			for (int i=t;i<min(a.size(),(t<<1));i++)
				B.push_back(a[i]);
			t<<=1;
			A+=B*Inverse(A,t);
			while (A.size()>t)
				A.pop_back();
			A*=499122177;
		}
		if (A[0]>mod-A[0])
			for (int i=0;i<A.size();i++)
				A[i]=(mod-A[i])%mod;
		while (A.size()>n)
			A.pop_back();
		return A;
	}
	Poly Ln(Poly a,int n){
		while (!a.empty()&&!a.back())
			a.pop_back();
		if (a.empty()||a[0]!=1)
			return a;
		a=Integral(Derivation(a)*Inverse(a,n));
		while (a.size()>n)
			a.pop_back();
		return a;
	}
	Poly Exp(Poly a,int n){
		static Poly A,B;
		while (!a.empty()&&!a.back())
			a.pop_back();
		if (a.empty())
			return Poly(1);
		if (a[0]!=0)
			return a;
		A.clear(),B.clear();
		B.push_back(1);
		A.push_back(a[0]);
		for (int t=1;t<n;){
			for (int i=t;i<min(a.size(),(t<<1));i++)
				A.push_back(a[i]);
			t<<=1;
			B=B*(Poly(1)+A-Ln(B,t));
			while (B.size()>t)
				B.pop_back();
		}
		while (B.size()>n)
			B.pop_back();
		return B;
	}
	Poly PolyPow(Poly x,int y,int n){
		static Poly A,B;
		int k0=0,kc,ivkc;
		while (!x.empty()&&!x.back())
			x.pop_back();
		if (x.empty())
			return x;
		while (k0<x.size()&&x[k0]==0)
			k0++;
		kc=x[k0],ivkc=Pow(kc,mod-2);
		A.clear();
		for (int i=k0;i<x.size();i++)
			A.push_back((int)((LL)x[i]*ivkc%mod));
		A=Exp(Ln(A,n)*y,n);
		B.clear();
		if ((LL)k0*y>=n)
			return B;
		kc=Pow(kc,y),k0*=y;
		for (int i=0;i<k0;i++)
			B.push_back(0);
		for (int i=0;i<min(A.size(),n-k0);i++)
			B.push_back((int)((LL)A[i]*kc%mod));
		while (B.size()>n)
			B.pop_back();
		return B;
	}
	namespace Qiuzhi{
		Poly P[N<<2],f[N<<2],M;
		vector <int> x,y;
		int n;
		void GetP(int rt,int L,int R){
			if (L==R){
				P[rt].clear();
				P[rt].push_back((mod-x[L])%mod);
				P[rt].push_back(1);
				return;
			}
			int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
			GetP(ls,L,mid);
			GetP(rs,mid+1,R);
			P[rt]=P[ls]*P[rs];
		}
		void qiuzhi(int rt,int L,int R){
			if (f[rt].empty())
				f[rt].push_back(0);
			if (L==R)
				return (void)(y[L]=f[rt][0]);
			int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
			f[ls]=f[rt]%P[ls];
			f[rs]=f[rt]%P[rs];
			qiuzhi(ls,L,mid);
			qiuzhi(rs,mid+1,R);
		}
		vector <int> Get_Val(vector <int> A,Poly F){
			n=A.size();
			x.clear(),y.clear();
			for (int i=0;i<n;i++){
				x.push_back(A[i]);
				y.push_back(0);
			}
			GetP(1,0,n-1);
			f[1]=F;
			qiuzhi(1,0,n-1);
			return y;
		}
	}
	namespace Chazhi{
		Poly P[N<<2],M;
		vector <int> x,y;
		int n;
		void GetP(int rt,int L,int R){
			if (L==R){
				P[rt].clear();
				P[rt].push_back((mod-x[L])%mod);
				P[rt].push_back(1);
				return;
			}
			int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
			GetP(ls,L,mid);
			GetP(rs,mid+1,R);
			P[rt]=P[ls]*P[rs];
		}
		Poly chazhi(int rt,int L,int R){
			if (L==R)
				return Poly(y[L]);
			int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
			return chazhi(ls,L,mid)*P[rs]+chazhi(rs,mid+1,R)*P[ls];
		}
		Poly Get_Poly(vector <int> A,vector <int> B){
			n=A.size();
			x=A;
			int Product=1;
			GetP(1,0,n-1);
			M=Derivation(P[1]);
			y=Qiuzhi :: Get_Val(A,M);
			for (int i=0;i<y.size();i++)
				y[i]=(LL)B[i]*Pow(y[i],mod-2)%mod;
			return chazhi(1,0,n-1);
		}
	}
}// be careful about init!!!!!!
using namespace Polynomial;
Poly A,B;
vector <int> x,y;
int main(){//LOJ150 挑战多项式
	int n=read()+1,k=read();
	A.clear();
	for (int i=0;i<n;i++)
		A.push_back(read());
	B=Exp(Integral(Inverse(Sqrt(A,n),n)),n);
	B=Poly(1)+Ln(Poly(2)+A-A(0)-B,n);
	B=Derivation(PolyPow(B,k,n));
	n--;
	B.print(n);
	return 0;
}

模板题

LOJ150 挑战多项式
https://loj.ac/problem/150

洛谷里的多项式模板题
https://www.luogu.org/problemnew/lists?name=多项式

NFLSOJ里的
https://acm.nflsoj.com/problems/template

用途

自行感受

鸣谢

CMXRYNP
https://cmxrynp.github.io/2018/10/24/多项式一些基础的操作/
https://cmxrynp.github.io/2018/11/27/多项式多点求值和快速插值学习笔记/

beginend
https://blog.csdn.net/qq_33229466/article/details/79125057

以及我曾经看过的一些课件。

多项式入门教程

标签：||   二次   示例   size   const   lists   数值   pow   技能   

原文地址：https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Polynomial.html
踩
(0)
赞
(0)
   
举报
评论 一句话评论（0）
登录后才能评论！
分享档案
更多>
2021年07月29日 (22)
2021年07月28日 (40)
2021年07月27日 (32)
2021年07月26日 (79)
2021年07月23日 (29)
2021年07月22日 (30)
2021年07月21日 (42)
2021年07月20日 (16)
2021年07月19日 (90)
2021年07月16日 (35)
周排行
mamicode.com排行更多图片
更多
友情链接
兰亭集智   国之画   百度统计   站长统计   阿里云   chrome插件   新版天听网
关于我们 - 联系我们 - 留言反馈
© 2014 mamicode.com 版权所有  联系我们:gaon5@hotmail.com
迷上了代码！