标签：class 合数 还需 递推 ext ges 允许 快速 sni
组合计数复习
联考里面出现了纯推式子题，这方面还需要加强...
有关组合数
二项式定理
\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k\(x+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k
\]
可以直接记，也可以考虑组合意义，每个位置可以选x和y，一共选k个x。
恒等式
\[\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}=2^n
\]
这个很明显
\[\sum_{r=0}^k \binom{n+r-1}{r}=\binom{n+k}{k}
\]
对角线求和，好像没啥用...组合意义是考虑在\(n+k\)的数集里选\(k\)个数的子集，左边考虑最大值是什么
组合意义
推式子推不出来就多想想组合意义吧
n元素选k项
允许重复选取，n元素选k项建立多重集：考虑用k-1个隔板分开n个1
上面的也是隔板法的式子，即\(x_1+x_2+...+x_n=k\)的非负整数解个数
顺便一提如果要求每份至少一个，方案数为\(\binom{n-1}{k-1}\)
- \(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}\)
看不透
- \(\binom{a+b}{n}=\sum_{i=0}^n\binom{a}{i}\binom{b}{n-i}\)
两堆数里选n个，枚举每堆选多少
关于斯特林数
第二类斯特林数
= LUB（n个有标号球放进k个无标号盒子，不能有空）
\[\left\{\begin{array}{l}
n \k
\end{array}\right\}=\frac{1}{k !} \sum_{j=0}^{k}(-1)^{k-j}\left(\begin{array}{c}
k \j
\end{array}\right) j^{n}
\]
考虑容斥，枚举空盒个数，其他无限制
递推式
\[\left\{\begin{array}{c}
n+1 \k
\end{array}\right\}=k\left\{\begin{array}{c}
n \k
\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}
n \k-1
\end{array}\right\}
\]
\[\left\{\begin{array}{l}
0 \0
\end{array}\right\}=1 \quad \text { and } \quad\left\{\begin{array}{l}
n \0
\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{l}
0 \n
\end{array}\right\}=0
\]
考虑当前球是否单独放一个盒子
打表快速判断：
1 3 1
1 7 6 1
1 15 25 10 1
数学直觉
Table 26.17 .1: The twelvefold way
注：这里的p_k(n)定义为至多划分为k个的划分数
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原文地址：https://www.cnblogs.com/lcyfrog/p/13175534.html
