函数图像上存在对称点

标签：inline   cos   完成   答案   结合   网上   递增   需要   line   

前言

从数的角度来说，

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点，则\(f(x)=-g(x)\)有解；

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(y\)轴的对称点，则\(f(-x)=g(x)\)有解；

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于原点的对称点，则\(f(x)=-g(-x)\)有解；

从形的角度来说，

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点，则函数\(y=f(x)\)与函数\(y=-g(x)\)的图像有交点；

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(y\)轴的对称点，则函数\(y=f(-x)\)与函数\(y=g(x)\)的图像有交点；

若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于原点的对称点，则函数\(y=f(x)\)与函数\(y=-g(-x)\)的图像有交点；

分类解析

• 两个函数图像上存在关于\(x\)轴的对称点类问题

例1【2017?蚌埠模拟】已知函数\(f(x)=lnx-x^3\)与\(g(x)=x^3-ax\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点，则\(a\)的取值范围为【 】

法1分析：函数\(f(x)=lnx-x^3\)与\(g(x)=x^3-ax\)的图像上存在关于x轴的对称点，

即当\(x=x_0\)时，\(f(x_0)=-g(x_0)\)。

所以方程\(f(x)=-g(x)\)有解， 所以\(lnx-x^3=-x^3+ax\)有解，

所以\(lnx=ax\)在\((0,+\infty)\)有解，即方程\(a=\cfrac{lnx}{x}\)在\((0,+\infty)\)有解，

令\(h(x)=\cfrac{lnx}{x}\)，由导数知识可知，\(f(x)\)在\((0，e)\)上单调递增，在\((e，+\infty)\)上单调递减，

又\(f(e)=\cfrac{1}{e}\)，故函数\(h(x)\in (-\infty，\cfrac{1}{e}]\)，故\(a\)的取值范围为\((-\infty，\cfrac{1}{e}]\) ，选\(D\)。

法2：转换为方程\(lnx=ax\)在\((0,+\infty)\)有解，即函数\(y=lnx\)和函数\(y=ax\)图像在\((0,+\infty)\)上有交点，利用数形结合求解；

法3：接上转换为方程\(a=\cfrac{lnx}{x}\)在\((0,+\infty)\)有解，即函数\(y=h(x)=\cfrac{lnx}{x}\)和函数\(y=a\)的图像有交点，利用数形结合求解；

• 两个函数图像上存在关于\(y\)轴的对称点类问题

例2【2018陕西省高三第二次质检第12题】已知函数\(f(x)=e^x+2(x<0)\)与\(g(x)=ln(x+a)+2\)的图像上存在关于\(y\)轴对称的点，则则\(a\)的取值范围为【 】

分析：函数\(f(x)=e^x+2(x<0)\)与\(g(x)=ln(x+a)+2\)的图像上存在关于\(y\)轴对称的点，即\(f(-x_0)=g(x_0)\)能成立。

即方程\(f(-x)=g(x)\)有解， 所以当\(x>0\)时，\(e^{-x}+2=ln(x+a)+2\)有解，

即方程\(e^{-x}=ln(x+a)\)在\(x>0\)时有解，即函数\(y=e^x\)与函数\(y=ln(x+a)\)图像有交点，

法1：数形结合法，如右图所示可知，当函数\(y=ln(x+a)\)过点\((1，0)\)时，没有交点，

此时由\(ln(0+a)=1\)可得，\(a=e\)；

又由图像平移可知，需要将函数\(y=ln(x+a)\)向右移动才会有交点，

故\(a<e\)，即\(a\)的取值范围是\((-\infty，e)\)，选\(B\).

法2：补集思想+计算法，由图可知，当函数\(y=ln(x+a)\)经过点\((0，1)\)上方时，必无交点，

即\(lna\ge 1\)时，即\(a\ge e\)时，二者无交点，由补集思想可得，二者有交点时\(a<e\)，

即\(a\)的取值范围是\((-\infty，e)\)，选\(B\).

解后反思：在网上见到有人这样解，\(lna<1\)，解得\(0<a<e\)，这是错的(很显然，\(a=0\)是满足的)，原因是当\(a<0\)时，\(lna\)是没有意义的，但是此时函数\(y=ln(x+a)\)的图像已经和\(y\)轴没有交点了，已经向右移动了，其渐近线也是向右移动的。

练1【学生训练题目】已知函数\(f(x)=x^2+e^x-\cfrac{1}{2}(x<0)\)与函数\(g(x)=x^2+\ln(x+a)\)的图像上存在关于\(y\)轴的对称点，则\(a\)的取值范围是【】

提示：答案为\(A\)，请仿上例完成。

• 两个函数图像上存在关于原点的对称点类问题

例3【学生训练题目】已知函数\(f(x)=lnx-x^2\)与函数\(g(x)=x^2-\cfrac{2}{x}-m\)的图像上存在关于原点的对称点，则\(m\)的取值范围为________.

分析：由题可知，方程\(f(x)=-g(-x)\)在\(x>0\)上有解，即\(lnx-x^2=-x^2-\cfrac{2}{x}+m\)在\(x>0\)上有解，

则\(m=lnx+\cfrac{2}{x}\)在\(x>0\)上有解，设\(h(x)=lnx+\cfrac{2}{x}(x>0)\)，

则\(h‘(x)=\cfrac{1}{x}-\cfrac{2}{x^2}=\cfrac{x-2}{x^2}\)，

故\(h(x)\)在区间\((0，2)\)上单调递减，在区间\((2，+\infty)\)上单调递增，

则\(h(x)_{min}=h(2)=ln2+1\)

即函数\(h(x)\)的值域是\([ln2+1，+\infty)\)

故\(m\)的取值范围为是\([ln2+1，+\infty)\)。

例4【学生训练题目】已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\cos(\cfrac{\pi}{2}x)-1，x\leqslant 0}\\{-log_a(-x)，x<0}\end{array}\right.(a>0，a\neq 1)\)，若函数图像上关于原点对称的点至少有\(3\)对，则实数\(a\)的取值范围是【】

提示：选\(A\)，有时间整理；

函数图像上存在对称点

标签：inline   cos   完成   答案   结合   网上   递增   需要   line   

原文地址：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/13186969.html