标签：统计   ast   否则   注意   这不   class   序列   set   线性   

agc037_f Counting of Subarrays

https://atcoder.jp/contests/agc037/tasks/agc037_f

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Tutorial

我们称一个序列为合法序列当且仅当存一个 \(K\) 使得它是 \((K,L)\) 的

考虑如何判断一个序列 \((A_1,A_2, \cdots , A_N)\) 是否合法, 假如 \(N=1\) , 那么它是合法的,否则

• 判断如果整个序列相等,那么当 \(N \ge L\) 时, 序列合法
• 否则, 设 \(m\) 为 \(A\) 中最小的数, 令 \([l_1,r_1] \cup \cdots \cup [l_k, r_k]\) 为 \(A\) 中值为 \(m\) 的元素的位置集合(\(r_i+1<l_{i+1}\))
• 如果存在一个区间 \([l_i,r_i]\) 的大小 \(<L\) , 那么这不是一个合法序列
• 否则, 对于每个区间 \([l_i,r_i]\) 将其替换为 \([\dfrac {r_i - l_i + 1}L]\) 个 \(m+1\) , 回到第一步重新判断.

如果直接这样判断, 我们用set维护元素的位置集合, 那么每次新增加一个元素时需要删除 \(L\) 个元素, 复杂度为 \(O(N \log N)\)

回到原本的问题, 如何统计有多少连续子序列是合法序列, 注意如果 \(Y\) 是 \(X\) 的连续子序列, 那么我们在对 \(Y\) 进行上面的判断步骤时, 中间部分的序列也是 \(X\) 中间部分的子序列, 所以我们对整个序列进行如上的判断, 需要考虑如何计算.

我们将这个问题描述为, 给出 \(L_1, \cdots, L_n, R_1, \cdots, R_n\) , 对于所有合法子序列 \(A_i, \cdots A_j\) 计算 \(L_iR_j\) 的和.

• 如果整个序列的元素相等, 答案为所有满足 \(i = j\) 或 \(j-i+1 \ge L\) 的 \((i,j)\) 的 \(L_iR_j\) 的和, 这部分可以线性计算
• 否则与上面类似的定义 \(m\) 和 \(l_1,r_1 , \cdots l_k,r_k\)
• 对于每个 \(i\) 考虑 \([l_i,r_i]\) 中的合法子序列 \([p,q]\) 的 \(L_p,R_q\) 的和
• 对于每个 \(i\) , 替换 \([l_i,r_i]\) 为 \([\dfrac {r_i-l_i+1}L]\) 个 \(m+1\) 与适当的一些 \(L,R\)
• 递归对其计算

考虑如何确定新的 \(L,R\) , 利用下面的例子感性理解一下

注意我们新加入的区间里的子区间的答案在这一层已经统计过了,需要减去

复杂度 \(O(N \log N)\)

agc037_f Counting of Subarrays

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原文地址：https://www.cnblogs.com/ljzalc1022/p/13191058.html