高等数学（1） —— 连续

For the ideal that I hold near to my heart, I‘d not regret a thousand times to die.
亦余心之所善兮，虽九死其尤未悔。

高等数学（1） —— 连续

题目得刷过去才行。

目录

1. 函数的连续性与间断点1.1 函数的连续性1.2 函数的间断点2. 连续函数的运算于初等函数的连续性2.1 连续函数的和差积商的连续性2.2 反函数与复合函数的连续性2.3 基本初等函数的连续性3. 闭区间上连续函数的性质3.1 有界性与最大值最小值定理3.2 零点定理与介值定理第一章——完

1. 函数的连续性与间断点

1.1 函数的连续性

连续： 只要函数的在某一点处有定义，且其极限值与函数值相等，即在该点处连续。

左连续： 函数在某一点有定义，左极限值与函数值相等。

右连续： 函数在某一点有定义，右极限值与函数值相等。

1.2 函数的间断点

间断点： 也称不连续点，以下三中一即为间断点，

• 在某一点处没有定义

• 在某一点处有定义，但极限不存在。

• 在某一点处有定义，但极限值不等于函数值。

第一类间断点： 左右极限都存在的间断点。

• 左右极限相等就叫可去间断点。
• 左右极限不相等即跳跃间断点。

第二类间断点： 不满足第一类间断点定义的间断点。

• 震荡间断点：

• 无穷间断点：

计算相关就是第一类间断点用的多，第二类常用于判断类型。

2. 连续函数的运算于初等函数的连续性

2.1 连续函数的和差积商的连续性

只要商时，分母不为零即都连续。

2.2 反函数与复合函数的连续性

反函数连续： 只要原函数在指定区间单调且连续，则反函数也会在对应区间单调且连续。

复合函数： 逐层判断连续。

2.3 基本初等函数的连续性

基本初等函数的连续性： 在其定义域内都是连续的。

定义区间：一定包含在定义域内的区间。
初等函数的连续性： 在其定义区间内连续。

3. 闭区间上连续函数的性质

3.1 有界性与最大值最小值定理

有界性与最大值最小值定理： 在闭区间上的连续函数在该区间上必定有界且存在最大值和最小值。

3.2 零点定理与介值定理

零点定理： 连续函数f(x)在区间[a,b]，如果，

则在区间[a,b]必定存在零点。

介值定理： 连续函数在闭区间内有最大值M和最小值m，则在这个闭区间内存在一个数a，使得f(a)的介于M和m之间。

第一章——完

第一章三大殿：映射殿，极限殿，连续殿结束施工。