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定义

偏序关系

设 \(R\) 是集合 \(S\) 上的一个二元关系，若 \(R\) 满足:

• 自反性: \(\forall x\in S\)， 有 \(x\ R\ x\)；
• 反对称性: \(\forall x,y\in S\)，若有 \(x\ R\ y, y\ R\ x\)，则有 \(x=y\)；
• 传递性: \(\forall x,y,z\in S\)，若有 \(x\ R\ y, y\ R\ z\)，则有 \(x\ R\ z\)。

则称 \(R\) 为 \(S\) 上的非严格偏序关系，记做 \(\le\)。

问题描述

给定正整数 \(p\)，一张点集为 \(V=\{v_1,v_2...v_n\}\)，边集 \(E(|E|=m)\)的有向无环图 \(G\) ，及代价函数 \((y,w)(\forall i, w_i>0)\) 。如果在 \(G\) 中有 \(v_i\) 到 \(v_j\) 的有向路径，那么就有 \(v_i\le v_j\) 的偏序关系。
求点值序列 \(f\)，满足 \(\forall v_i\le v_j(i,j\in[1,n])\)，均有 \(f_i\le f_j\)，最小化回归代价:

对于相同的 \(p\)，这一类问题统称为 \(L_p\) 问题。

一些约定

Definition: 将序列 \(z\) 中不超过 \(a\) 的元素变为 \(a\)，不小于 \(b\) 的元素变为 \(b\) 称为序列 \(z\) 向集合 \(S=\{a,b\}\) 取整。
Definition: 点集 \(U\) 的 \(L_p\) 均值为满足 \(\sum_{v_i\in U}w_i|y_i-k|^p(1\le p<\infty)\) 或 \(\max_{v_i\in U}w_i|y_i-k|(p=\infty)\) 最小的 \(k\)。

特殊情形下的算法

一种贪心做法

给定正整数序列 \(y,w\)，求单调不减的实数序列 \(f\)，最小化 \(\sum_{i=1}^nw_i(f_i-y_i)^2,n\le2*10^5\)

Lemma: 点集 \(U\) 的 \(L_2\) 均值为其加权平均数 \(\frac{\sum_{v_i\in U}w_iy_i}{\sum_{v_i\in U}w_i}\)
Lemma: \(\forall1\le i<n\)，如果有 \(y_i>y_{i+1}\)，那么最优解中一定满足 \(f_i=f_{i+1}\)
直接做单调栈即可。

维护折线算法

给一个 \(n\) 个点 \(n-1\) 条边的有向弱连通图 \(G=(V,E)\)，每个点均有点权 \(d_i\) 和修改耗时 \(w_i\)。对于每个 \(i(1\le i\le n)\)，每次修改可以花费 \(w_i\) 的时间把 \(d_i\) 加 \(1\) 或减 \(1\)，求最小消耗多少时间，使得 \(\forall(u,v)\in E,d_u\le d_v。n\le3*10^5,1\le d_i\le10^9,1\le w_i\le10^4\)

折线优化 dp 基础题

保序回归问题

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原文地址：https://www.cnblogs.com/ldxcaicai/p/13200893.html