标签：mat 求和 math 降幂 有一个 现在 inline span 处理
我们要求的是 \(\sum_{k=0}^n f(k) \times x^k \times \binom{n}{k}\)
把普通多项式 \(f(k)=\sum_{i=0}^m a_ik^i\)转换成下降幂多项式\(g(k)=\sum_{i=0}^m b_ik^{\underline{i}}\)
那么原式就是 \(\sum_{k=0}^n \sum_{i=0}^m b_ik^{\underline{i}} \times x^k \times \binom{n}{k}\)
有一个性质是 \(\binom{n}{k} \times k^{\underline{i}} = \binom{n-i}{k-i} \times n^{\underline{i}}\)
于是原式变成 \(\sum_{k=0}^n \sum_{i=0}^m b_i \times x^k \times \binom{n-i}{k-i} \times n^{\underline{i}}\)
交换求和顺序 \(\sum_{i=0}^m b_i \sum_{k=0}^n x^k \times \binom{n-i}{k-i} \times n^{\underline{i}}\)
\(i>k\)时后面的为0，所以枚举\(k\)可以转化为枚举\(k-i\)，就相当于\(\sum_{i=0}^m b_i \sum_{k=0}^{n-i} x^{k+i} \times \binom{n-i}{k} \times n^{\underline{i}}\)
整理系数得 \(\sum_{i=0}^m b_ix^in^{\underline{i}} \sum_{k=0}^{n-i} x^k \times \binom{n-i}{k}\)
发现后面添上1是二项式定理的展开（同subtask 4~8 \(m=0\)），式子变成 \(\sum_{i=0}^m b_ix^in^{\underline{i}} (x+1)^{n-i}\)
现在问题在于求\(b_i\)，就是普通多项式转下降幂多项式。
因为\(x^k = \sum_{i=0}^k x^{\underline{i}} \times S2(k,i)\)，\(S2\)表示第二类斯特林数。
所以\(\sum_{i=0}^m a_ik^i = \sum_{i=0}^m a_i \sum_{j=0}^i k^{\underline{j}} \times S2(i,j)\)
相当于\(\sum_{i=0}^m k^{\underline{i}} \sum_{j=i}^m a_j \times S2(j,i)\)
那么\(b_i=\sum_{j=i}^m a_j \times S2(j,i)\)，可以\(O(m^2)\)预处理，然后带回原式\(O(m)\)计算。
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