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行列式

时间:2020-06-29 22:50:15      阅读:105      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:高斯消元法   值方法   高效   利用   alt   exist   元素   但我   src   


title: 数论 行列式
date: 2019-08-26 16:36:33
tags: 数论

数论 行列式

1.1 一些前置知识——排列

排列:从n个不同元素中任取m个元素,按照一定的顺序排列,就是从n个不同元素中抽取m个元素的一个排列

逆序对\(\exists i<j \quad a_i>a_j\)

对换:交换排列的两个数

奇偶性:偶数个逆序对则是偶排列;奇数个逆序对则是奇排列。

1.2 排列的定理

(一): 对换改变排列的奇偶性

易证:交换相邻两个数,必定改变奇偶性

易证:交换对列中任意两个数可由交换相邻的两下数奇数次得到

综上得证ψ(`?′)ψ

(二): 在全部n阶(n$\geq$2)排列中,奇偶各占一半

证:

结论一:奇排列数量\(\leq\)偶排列

结论一证明:\(a_1,a_2,a_3,...,a_n(奇)\Rightarrow_{对换}a_1,a_3,a_2,...,a_n(偶)\)

因此,一个偶排列必定可以从一个奇排列转移过来,数量必定大于奇排列的数量

结论二:奇排列数量\(\geq\)偶排列

结论二证明:同理可得

综上可证( ̄y▽, ̄)╭

(三)任意排列可经过一系列对换成为自然排列。对换次数的奇偶性与排列的奇偶性相同。

应该不需要证明吧/逃~( ̄▽ ̄)~*

2.1 行列式

定义:n阶行列式为有\(n^2\)个数的方阵。与矩阵是数表不同的是,行列式是有确切的值的。

技术图片

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2.2 行列式定理

(一) 行列式的行列交换(也可理解为沿对角线对称),值不变

定义中,一行只出一个,人列只出一个,因此行列的地位相同

(二) 用一数字(\(k\))乘以行列式某一行后的值,等于用该数(\(k\))乘以该行列式的值

(三) 满足分配律

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\((7\ 8\ 9)=(2\ 3\ 3)=(5\ 5\ 6)\)

(四) 交换两行,行列式反号

(五) 行列式中有两行相同,则值为零

证:

交换这两行,值反号;但由于行列式本质上没有发生改变,因此值不变;能同时满足上述两点的,只有当行列式值为零时。

(六) 行列式中,若一行是其它行的若干倍,则值为零

证:

有了第三条和第五条性质后,组合一下易证(/▽\)

(七) 把一行的某倍加到另一行,行列式值不变

在第六条性质的基础上再利用一下分配律

2.2 行列式求值

既然行列式比矩阵多的一条特性:求值。那么考虑一下求值方法应当是显然的吧( ̄??)

2.2.1 定义法

首先声明:本解法不具有实用性

顾名思义,按照定义去值即可。但我不会生成全排列(/▽\)复杂度也达到了\(O(n\times n!)\)显然不可接受

2.2.2 高斯消元法

可以发现,当行列式消成上三角矩阵的时候,行列式的值是显然的。

因为只有枚举到主对角线才是有意义的,其余情况下都会被归零

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因此如果有一种方法能高效地消元,问题便得到了解决。高斯消元法便为我们提供了一个\(O(n^3)\)的方法。为了篇幅整洁,将“高斯消元法”专开一文,单独记录

行列式

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原文地址:https://www.cnblogs.com/ticmis/p/13210720.html

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