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线段树是什么?
顾名思义,就是把一颗树拆成若干个点段,
每一个父结点可以包含其子节点的信息(看你要表示什么了),例如该父结点的全部子节点的值之和,该父节点范围内子节点的最大值,那么就可以采取一些例如区间查询,区间修改,单点查询,单点修改的操作了,显然是用空间来换时间的算法(有了父节点就不用一直追溯到字节点,时间效率会提升很多,但是由于开了很多没必要的父节点,空间上比一般算法会多一些),那么既然大致理解了线段树的含义,那么就看一下基本操作了~
线段树的根节点由图(挺丑的,看得懂就好..)可以看出是编号为1的节点,这并不是随机,单纯的为了好操作,每一个父节点的左右子树的编号分别为:rt<<1, rt << 1 | 1,其中rt表示的是父节点在结构体里面的编号,要是还不理解的话,这样用动态的思路考虑一下,首先根节点的编号是1,父节点需要向下建树推子节点,两个子节点分别是2(1 << 1),3(1 << 1 | 1),依次推下去,2的子节点是4(2 << 1),5(2 << 1 | 1),3的子节点是6(3 << 1),7(3 << 1 | 1),说白了这一方面是为了建一颗完全二叉树,一方面也是好写(好写吗..)。
来一个建树代码来看一看:
void build(long long rt,long long l,long long r){
if(l == r){
tree[rt] = a[l];//到了单个节点,也可以说叶子节点,直接赋值
return;
}
long long mid = (l + r) >> 1;//取中点
build(rt << 1, l, mid);//递归左子树
build(rt << 1 | 1, mid + 1, r);//递归右子树
tree[rt] = tree[rt << 1] + tree[rt << 1 | 1];//这个是区间求和,要是求区间最大值就换成max就好了
}
一般没必要开long long,我纯属闲的(反正不开白不开)。
到了这里大家应该理解了线段树大致是个什么东西了吧,个人认为挺好理解的。
这里就不单独写单点修改了单点查询了,毕竟没啥用,而且会了区间修改查询之后把l和r换成一样的不就好了吗(偷懒)。
区间修改相信初学者一开始不好理解,我先放代码再解释
void update(long long rt, long long l, long long r, long long w){//修改操作
tree[rt] += (r-l+1)*w;//区间加和,其父亲节点加的一定是其区间内左右子树的加和的总和,即区间的大小乘单个节点要加的值
lazy[rt] += w;//为了其子节点做准备
}
void pushdown(long long rt,long long l, long long r){//下推lazy标志并修改左右子树的值
long long mid = (l + r) >> 1;
update(rt << 1, l, mid, lazy[rt]);//修改左子树
update(rt << 1 | 1, mid + 1, r, lazy[rt]);//修改右子树
lazy[rt] = 0;//清空lazy标志
}
void modify(long long rt,long long l,long long r,long long s,long long t,long long w){//s和t是两个变量,用来记录当前到了那个区间,而s和t用来记录要查询的区间
if(s <= l && t >= r){
update(rt,l,r,w);//要查找的内容包括了本区间
return;
}
pushdown(rt, l, r);
long long mid = (l + r) >>1;
if(s <= mid) modify(rt << 1, l, mid, s, t, w);//mid在左端点的右面且l小于左端点
if(t > mid) modify(rt << 1 | 1, mid + 1, r, s, t, w);//mid在右端点左面且大于r右端点
tree[rt] = tree[rt << 1] + tree[rt << 1 | 1];//区间求和
}
那么lazy标记到底是什么呢?要知道一点,线段树修改时并不会直接修改到叶子节点,那样时间效率并不高,也失去了父亲节点存在的意义,当父亲节点的区间在要询问的区间内部的时候,只会修改父节点的值而不会更新子节点的值,也就是说,当子节点需要更新的时候才会采取操作,那么lazy标志就是记录的父节点欠子节点的值,这里可能不太好理解,可以自己模拟一下过程,按照代码模拟一下就懂了(懒了),别人再怎么解释不懂还是不懂,自己实际去模拟一下,多品,细品,就会恍然大悟(雾)。这里具体还是看代码和模拟为主。
区间查询相对于区间修改就好理解的多,解释看备注吧,和上面的modify函数一模一样~~
long long query(long long rt, long long l, long long r, long long s, long long t){
if(s <= l && t >= r){
return tree[rt];//在要查询的区间里直接返回值
}
long long mid = (l + r) >> 1;
pushdown(rt, l, r);//把lazy标志下推,否则查询出来的信息是错的(毕竟不是所有的数都在一整个区间里,可能跨区间)
if(t <= mid){
return query(rt << 1, l, mid, s, t);
}else if(s > mid){
return query(rt << 1 | 1, mid + 1, r, s, t);
}//同区间修改
else return query(rt << 1, l, mid, s, t) + query(rt << 1 | 1, mid + 1, r, s, t);//此处是区间求和,求区间最大值只要改成max就好了
}
这是个人认为线段树里最恶心的一种操作,即让一个区间全都乘上一个数,一开始想不过如此的操作,看起来和加法没什么区别,但是仔细一想不要忘了一个细节:线段树并不会更新到叶子节点,那么就要考虑一下算法的顺序了,要是加法标记没有推下去而直接算乘法,显然是错解。
这样想,好像并不好操作,那简化一下,运用乘法分配率即\((a+lazy[b])*lazy_[c]=a*lazy_[c]+lazy[b]*lazy_[c]\),说白了就是先乘后加,再向下推lazy标记的时候就不会出现如上的错解。
上代码:
#include<bits/stdc++.h>
const int maxn = 1e5+5;
long long tree[maxn << 2],lazy[maxn << 2], lazy_[maxn << 2],x[maxn];//线段树不要忘记要左移两位,数组别开小了
int n,m,order,add,mod;
using namespace std;
void build(int rt, int l, int r){
lazy_[rt] = 1;
if(l == r){
tree[rt] = x[l] % mod;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(rt << 1, l, mid);
build(rt << 1 | 1, mid + 1, r);
tree[rt] = (tree[rt << 1] + tree[rt << 1 | 1])%mod;
}
void update(int rt, int l, int r, long long w, long long cheng){
lazy_[rt] =(lazy_[rt]*cheng)%mod;
lazy[rt] = (lazy[rt]*cheng) %mod;//先乘
lazy[rt] = (lazy[rt]+ w)%mod;//后加
tree[rt] =( tree[rt] * cheng + (r - l + 1)*w )%mod;
}
void pushdown(int rt, int l, int r){
int mid = (l + r) >> 1;
update(rt << 1, l, mid, lazy[rt],lazy_[rt]);
update(rt << 1 | 1, mid + 1, r, lazy[rt], lazy_[rt]);
lazy[rt] = 0;
lazy_[rt] = 1;
}
void modify(int rt, int l, int r, int s, int t, long long w, long long cheng){//通俗易懂,w就是加,cheng就是cheng,此函数就是区间修改
if(l >= s && r <= t){
update(rt, l, r, w, cheng);//直接修改
return;
}
pushdown(rt,l,r);//lazy标记下推
int mid = (l + r) >> 1;
if(mid >= s) modify(rt << 1, l, mid, s, t, w, cheng);
if(mid < t) modify(rt << 1 | 1, mid + 1, r, s, t, w, cheng);
tree[rt] = (tree[rt << 1] + tree[rt << 1 | 1])%mod;
}
long long query(int rt, int l, int r, int s, int t){//区间查询和
if(l >= s && r <= t){
return tree[rt]%mod;
}
int mid = (l + r) >> 1;
pushdown(rt, l, r);
long long ans = 0;
if(mid >= s) ans = (ans+query(rt << 1, l, mid, s, t)) % mod;
if(mid < t) ans = (ans + query(rt << 1 | 1, mid + 1, r, s, t)) % mod;
return ans%mod;
}
void solve(){
int a,b,add;
scanf("%d%d%d", &n, &m, &mod);
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld",&x[i]);
build(1,1,n);
for(int i = 1; i <= m; i++){
scanf("%d",&order);
if(order == 2){
scanf("%d%d%d",&a, &b, &add);
modify(1, 1, n, a, b, add,1);
}else if(order == 1){
scanf("%d%d%d", &a, &b, &add);
modify(1, 1, n, a, b, 0, add);
}
else{
scanf("%d%d", &a, &b);
printf("%lld\n",query(1,1,n,a,b)%mod);
}
}
}
int main(){
solve();
return 0;
}
线段树的总结就先写这么多了,以后发现好题还会继续更新~
标签:函数 modify 而且 怎么 查询 很多 com code 初学者
原文地址:https://www.cnblogs.com/hzoi-liujiahui/p/13229469.html