标签：inline 题解 row 解释 mat 不同 方式 翻译 组合
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这篇题解就只是在翻译rqy的做法（
这题如果要从代数意义去推导的话很烦而且很难，所以考虑组合意义
设 \(f_n\) 为大小为 \(n\) 的不同二叉树数量，\(g_n\) 为大小为 \(n\) 的不同二叉树数量的叶子节点之和，答案显然就是 \(\frac{g_n}{f_n}\)，\(f_n\) 就是我们非常熟悉的卡特兰数了，考虑 \(g_n\) 怎么去做
设一棵大小为 \(n\) 二叉树的叶子节点为 \(k\) 个，如果将这 \(k\) 个叶子节点中的任何一个删去，就可以得到 \(k\) 个大小为 \(n-1\) 的二叉树。倒着考虑，任何一个大小为 \(n-1\) 的二叉树只要添加一个叶子节点就能给 \(g_n\) 增加大小为 \(1\) 的贡献，并且这两句话的本质相同。
那么考虑大小为 \(n-1\) 的二叉树有多少种添加叶子节点的方式。
在此之前讲一些初赛内容：
假定一棵二叉树的大小为 \(n\)，有 \(a\) 个节点有两个儿子，有 \(b\) 个节点有一个儿子，有 \(c\) 个节点是叶子节点
显然有 \(\begin{cases} a+b+c=n\ ① \\ 2a+b=n-1\ ② \end{cases}\)
解释 ② 式：除了根节点以外，每个节点都有父亲，所以我们看有多少个节点是作为儿子，②式就显然成立。
\(2 \times ①-② \Rightarrow b+2c=n+1\)
发现 \(b+2c\) 就是我们要求的可以添加叶子节点的方案数（有 \(b\) 个节点有一个空着的地方可以放叶子节点，\(c\) 个节点有两个空着的地方可以放叶子节点），即 \(n+1\)
那么每一个大小为 \(n-1\) 的二叉树有 \(n\) 种添加叶子节点的方式。
因为每一种添加叶子节点的方式都可以给 \(g_n\) 贡献 1，那么 \(g_n=f_{n-1} \times n\)
既然 \(g_n\) 推导出来了，那么 \(\frac{g_n}{f_n}\) 推导出来也是显然的了，答案就是 \(\frac{n\times (n+1)}{2 \times (n-1)}\)
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原文地址：https://www.cnblogs.com/limit-ak-ioi/p/13230481.html
