状压DP之学校食堂

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题目

传送们
小F 的学校在城市的一个偏僻角落，所有学生都只好在学校吃饭。学校有一个食堂，虽然简陋，但食堂大厨总能做出让同学们满意的菜肴。当然，不同的人口味也不一定相同，但每个人的口味都可以用一个非负整数表示。 由于人手不够，食堂每次只能为一个人做菜。做每道菜所需的时间是和前一道菜有关的，若前一道菜的对应的口味是a，这一道为b，则做这道菜所需的时间为（a or b）-（a and b），而做第一道菜是不需要计算时间的。其中，or 和and 表示整数逐位或运算及逐位与运算，C语言中对应的运算符为“|”和“&”。
学生数目相对于这个学校还是比较多的，吃饭做菜往往就会花去不少时间。因此，学校食堂偶尔会不按照大家的排队顺序做菜，以缩短总的进餐时间。
虽然同学们能够理解学校食堂的这种做法，不过每个同学还是有一定容忍度的。也就是说，队伍中的第i 个同学，最多允许紧跟他身后的Bi 个人先拿到饭菜。一旦在此之后的任意同学比当前同学先拿到饭，当前同学将会十分愤怒。因此，食堂做菜还得照顾到同学们的情绪。 现在，小F 想知道在满足所有人的容忍度这一前提下，自己的学校食堂做完这些菜最少需要多少时间。

输入格式

第一行包含一个正整数C，表示测试点的数据组数。 每组数据的第一行包含一个正整数N，表示同学数。 每组数据的第二行起共N行，每行包含两个用空格分隔的非负整数Ti和Bi，表示按队伍顺序从前往后的每个同学所需的菜的口味和这个同学的忍受度。 每组数据之间没有多余空行。

输出格式

包含C行，每行一个整数，表示对应数据中食堂完成所有菜所需的最少时间。

输入输出样例

输入

2
5
5 2
4 1
12 0
3 3
2 2
2
5 0
4 0

输出

16
1

思路

设dp[i][j][k]表示第1到第i-1个人已经打到饭，i以及后面7个人的状态为j，最后一个打饭的编号为i+k,(k的范围是-8到7)，那么我们分析转移

• 第i个人已经打完饭，那么i后面的7个人只能在i后面打饭（i：我打完了，你们随意），那么可以直接更新i+1的状态

dp[i+1][j>>1][k-1]=min(dp[i+1][j>>1][k-1],dp[i][j][k]);

• i并没有打完饭，这时候并不是简单的枚举i后面的b[i]个人，而是向后找忍耐度+其位置的最小值，因为每个人的忍耐度是不一样的，就比如i的忍耐读是5,而i+1是1,那么只能是i后面两个人可以在i前面打饭，所以要考虑忍耐距离，枚举i后面7个人，在满足该条件下可以进行转移，

dp[i][j|(1<<h)][h+8]=min(dp[i][j|(1<<h)][h+8],dp[i][j][k+8]+(i+k?(t[i+k]^t[i+h]):0));

• 一点细节，k的范围是-8到7，所以存的时候要都加一下8，保证数组不越界（段错误警告）。
• (Ai? or Ai+1?)?(Ai? and Ai+1?) = Ai? xor Ai+1?

附上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T;
const int maxn=1000+10;
const int N=1<<8;
const int inf=0x7f7f7f7f;
int dp[maxn][N][20];
int t[maxn],b[maxn],n;

inline int read(){
   int s=0,w=1;
   char ch=getchar();
   while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)w=-1;ch=getchar();}
   while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) s=s*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
   return s*w;
}

int main(){
	T=read();
	while(T--){
		memset(t,0,sizeof(t));//记得初始化
		memset(b,0,sizeof(b));
		n=read();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			t[i]=read();
			b[i]=read();
		}
		memset(dp,0x7f,sizeof(dp));//初始化无穷大
		dp[1][0][7]=0;//第0个人已经打完，上一个打饭的人是7-8（不存在）
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=0;j<(1<<8);j++){
				for(int k=-8;k<=7;k++){
				 	if(dp[i][j][k+8]!=inf){//除去效操作
				              if(j&1)dp[i+1][j>>1][k+7]=min(dp[i+1][j>>1][k+7],dp[i][j][k+8]);
						else{
							int lim=inf;//设定边界
							for(int h=0;h<=7;h++){
								if(!((j>>h)&1)){
									if(i+h>lim)break;超过最大边界，不能转移
									lim=min(lim,i+h+b[i+h]);
									dp[i][j|(1<<h)][h+8]=min(dp[i][j|(1<<h)][h+8],dp[i][j][k+8]+(i+k?(t[i+k]^t[i+h]):0));//i+k==0，无需等待
								}
							}
							
						}
					}	
				}
			}
		}
		int ans=inf;
		for(int k=0;k<=8;k++){
			ans=min(ans,dp[n+1][0][k]);
		}
		cout<<ans<<endl;
		
	}

}

状压DP之学校食堂

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