题解 P1450 【[HAOI2008]硬币购物】

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[HAOI2008]硬币购物

共有四种硬币，其面值分别为\(c_1,c_2,c_3,c_4\)

\(n\)次询问，每次给定每种硬币的个数\(D_i\)和付款金额\(S\)，问共有多少种付款方式

\(n≤10^3,S≤10^5\)

暴力做法

我们可以把问题看作做\(n\)次多重背包，用单调队列优化，最优的复杂度为\(O(n4s)\)在这里不详细讨论

完全背包+容斥

对于每次询问，相当于给定四个限制，第\(i\)个限制即只能至多使用\(i\)个硬币支付。类似于错排，满足限制的方案数=全部方案数-不满足的方案数
（错排的容斥推导可见https://www.luogu.com.cn/blog/maxsama/zuhemath）
而对于全部的方案数，相当于做体积为\(S\)的完全背包，而\(S\)至多为\(10^5\)，因此我们可以\(O(4S)\)预处理所有\(S\)。

而对于不满足条件的方案数

类似于错排，若不满足其中一个限制条件，一定是非法的，我们可以设\(A_i\)为第\(i\)种硬币不满足限制的方案集合。

那么不满足条件的方案数即

而对于\(|A_i|\)，我们当前一共要支付\(S\)个硬币，而对于第\(i\)种只能支付\(D_i\)个，那么我们如果先把\(D_i+1\)个硬币付完剩下的支付方案（即从四种硬币中支付\(S-C_i(D_i+1)\)的金额）是一定不合法的，因为第\(i\)个硬币至少需要选零个，而如果选\(0\)个，最终还是多付了一个。

因此，第\(|A_i|=F[S-C_i(D_i+1)]\)

因为我们要求集合的并，因此，我们需要考虑容斥，而考虑容斥我们就需要求出集合的交

我们考虑任意最简单的情况：两个集合的交

我们从定义出发，\(A_i\)为第\(i\)种硬币不满足限制的方案集合，而\(A_j\)为第\(j\)种硬币不满足限制的方案集合。

而显然，同时满足\(i\)种硬币不满足限制与\(j\)种硬币不满足限制这样的性质的集合，为它们的交。

同样地，我们可以把他们两个的\(D_i+1\)都先支付出去，那么则有

那么

那么我们可以状压枚举\(T\)算出答案。

总的复杂度为\(O(4S+16n)\)

代码：

#include <iostream>

using namespace std;

const int maxn = 10;

int c[maxn],d[maxn];

long long f[100010];

int main(){
	int n;
	cin >> c[1] >> c[2] >> c[3] >> c[4] >> n;
	f[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 4; i++){
		for (int j = c[i]; j <= 100010; j++){
			f[j] += f[j - c[i]];
		}
	}
	while(n--){
		int s;
		cin >> d[1] >> d[2] >> d[3] >> d[4] >> s;
		long long ans = f[s];
		for (int i = 0; i < 1 << 4; i++){
			long long sum = 0,cnt = 0;
			for (int j = 0; j < 4; j++){
				if (i >> j & 1){ 
					sum += c[j + 1] * (d[j + 1] + 1);
					cnt++;
				}
			}
			//cout << sum << endl;
			long long t = s - sum;
			if (cnt % 2 == 0 && t >= 0 && sum != 0) ans += f[s - sum];
			else if (t >= 0 && sum != 0) ans -= f[s - sum];
		}
		cout << ans << endl;
	}
	//system("PAUSE");
	return 0;
}

题解 P1450 【[HAOI2008]硬币购物】

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原文地址：https://www.cnblogs.com/wxy-max/p/13237728.html