【CSP2019】树的重心（树的重心、倍增、换根）

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当年我做这道题时还太嫩了，只能想到暴力。其实如果会了更高的科技这道题只要稍微对暴力优化一下就能AC（我也不会含泪75pts了）。

废话不说了，暴力的思路就是枚举每一条边然后求两个子树的重心。

直接求重心的复杂度是\(O(n)\)的，我们考虑优化到\(O(\log{n})\)。

我们想要求以\(x\)为根的子树的重心，首先有个引理：这个重心一定在以\(x\)开头的这条重链上（这里就是轻重链剖分中的重链）。这是在做这题时想到的。

这其实蛮好理解的，如果\(x\)不是重心，则只有其重儿子才有可能是重心，同理只有其重儿子的重儿子才有可能是重心，所以重心一定在重链上。

重心一定有且最多有两个，所以我们在重链上找一个最深的点\(y\)使得\(n-sz[y] \le \frac{n}{2}\)，这个点有可能成为重心。

重心的另一个性质是如果两点是重心则其一定相连。这样我们只需判断\(y\)和\(father[y]\)是不是中心即可。

怎么找到\(y\)？我们发现在重链上倍增就行，类似倍增求lca。

怎么维护众多数组？换根就行。

关于树的重心的更多性质

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 300000;
template <typename T> void read(T &x) {
	T f = 1;
	char ch = getchar();
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == ‘-‘) f = -1;
	for (x = 0; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - ‘0‘;
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + ‘0‘);	
}
template <typename T> void print(T x) {
	if (x < 0) putchar(‘-‘), x = -x;
	write(x);
	putchar(‘\n‘);
}
struct node{
	int pre, to;
}edge[N << 1];
int head[N], tot;
int T;
int n;
int sz[N], son[N], g[N][21], father[N];
ll ans;
void init() {
	for (int i = 1; i <= n; i++) head[i] = 0;
	tot = ans = 0;
}
void add(int u, int v) {
	edge[++tot] = node{head[u], v};
	head[u] = tot;
}
void calc(int x) {
	g[x][0] = son[x];
	for (int i = 1; i <= 20; i++) g[x][i] = g[g[x][i - 1]][i - 1];
}
void dfs1(int x, int fa) {
	sz[x] = 1;
	son[x] = 0;
	for (int i = head[x]; i; i = edge[i].pre) {
		int y = edge[i].to;
		if (y == fa) continue;
		father[y] = x;
		dfs1(y, x);
		sz[x] += sz[y];
		if (sz[y] > sz[son[x]]) son[x] = y;
	}
	calc(x);
}
int check(int x, int total) {
	if (max(sz[son[x]], total - sz[x]) <= (total >> 1)) return 1;
	return 0;
}
void get_ans(int x) {
	int now = x;
	for (int i = 20; i >= 0; i--) if (g[now][i] && sz[x] - sz[g[now][i]] <= (sz[x] >> 1)) now = g[now][i];
	ans += check(now, sz[x]) * now + check(father[now], sz[x]) * father[now];
}
void change_root(int x, int y) {
	sz[x] -= sz[y];
	sz[y] += sz[x];
	father[x] = y;
	father[y] = 0;
	if (son[x] == y) {
		son[x] = 0;
		for (int i = head[x]; i; i = edge[i].pre) {
			int z = edge[i].to;
			if (z == y) continue;
			if (sz[z] > sz[son[x]]) son[x] = z;
		}
		calc(x);
	}
	if (sz[x] > sz[son[y]]) son[y] = x, calc(y);
}
void dfs2(int x, int fa) {
	for (int i = head[x]; i; i = edge[i].pre) {
		int y = edge[i].to;
		if (y == fa) continue;
		get_ans(y);
		change_root(x, y);
		get_ans(x);
		dfs2(y, x);
		change_root(y, x);
	}
}
int main() {
	read(T);
	while (T--) {
		read(n);
		init();
		for (int i = 1, u, v; i < n; i++) {
			read(u); read(v);
			add(u, v); add(v, u);
		}
		dfs1(1, 0);
		dfs2(1, 0);
		print(ans);
	}
	return 0;
}

【CSP2019】树的重心（树的重心、倍增、换根）

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