DP入门——迷宫行走方案2

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题目描述

给你一个 \(n\) 行 \(m\) 列的二维迷宫，一开始你在迷宫的左上角的格子 \((1,1)\) 处（我们用位置 \((x,y)\) 来表示第 \(x\) 行第 \(y\) 列），你要走到右下角的格子 \((n,m)\) 处 ，但是你是不能随便走的，
行走的方向是有规定的：每一步你只能往右移动一格，或者往下移动一个，并且你不能移动出迷宫的边界；
出了方向以外呢，我们还有另一个限制，在迷宫的每个格子里都有一个大写的英文字符 \(c_{i,j}\) （我们用 \(c_{i,j}\) 来表示格子 \((i,j)\) 处的格子），对于两个格子 \((x1,y1)\) 和 \((x2,y2)\) ，如果 \(c_{x1,y1} \gt c_{x2,y2}\) ，那么就算 \((x2,y2)\) 是 \((x1,y1)\) 右边的或者下边的格子，我们也不能从 \((x1,y1)\) 移动到 \((x2,y2)\) ，也就是说，你只能从一个ASCII较小的格子移动到它右边或上边那个ASCII较大的格子。
请问在这种限制下，你有多少种不同的移动方案。
说明：只要从起点到终点的移动路线不同，那么我们就说它们是不同的移动方案。比如：假设 \(n = m = 2\)，并且迷宫形状如样例输入一样的时候，从左上角 \((1,1)\) 移动到右下角 \((2,2)\) 共有\(2\) 种移动方案：

• \((1,1) \Rightarrow (1,2) \Rightarrow (2,2)\)
• \((1,1) \Rightarrow (2,1) \Rightarrow (2,2)\)

输入格式

输入一行包含两个整数 \(n,m(1 \le n,m \le 10)\) ，以空格分隔。
接下来n行每行包含一个长度为m的字符串，用于描述这个二维迷宫。

输出格式

输出包含一个整数，表示从 \((1,1)\) 走到 \((n,m)\) 的方案数。

样例输入

2 2
AB
CD

样例输出

2

本题涉及算法：动态规划。
本题和“迷宫行走方案1”类似，只不过多了一个限制。
我们设状态 \(f[i][j]\) 表示从 \((1,1)\) 走到 \((i,j)\) 的方案总数；
那么：

• 对于 \((1,1)\) 来说，\(f[1][1] = 1\) ；
• 对于除了 \((1,1)\) 以外的所有第 \(1\) 行的元素 \((1,i)\) 来说，因为 \((1,i)\) 只有可能是从 \((1,i-1)\) 走过来的，所以:
  1. 当 \(c_{1,i-1} \lt c_{1,i}\) 时，\(f[1][i] = f[1][i-1]\) ;
  2. 当 \(c_{1,i-1} \ge c_{1,i}\) 时，\(f[1][i] = 0\)
• 对于除了 \((1,1)\) 以外的所有第 \(1\) 列的元素 \((i,1)\) 来说，因为 \((i,1)\) 只有可能是从 \((i-1,1)\) 走过来的，所以：
  1. 当 \(c_{i-1,1} \lt c_{i,1}\) 时， \(f[i][1] = f[i-1][1]\) ;
  2. 当 \(c_{i-1,1} \ge c_{i,1}\) 时， \(f[i][1] = 0\)
• 对于其他的所有点 \((i,j)\) ，因为 \((i,j)\) 只能从 \((i-1,j)\) 和 \((i,j-1)\) 两个点走过来，所以：
  1. 当 \(c_{i-1,j} \lt c_{i,j}\) 并且 \(c_{i,j-1} \lt c_{i,j}\) 时 \(f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]\) ；
  2. 当 \(c_{i-1,j} \lt c_{i,j}\) 并且 \(c_{i,j-1} \ge c_{i,j}\) 时 \(f[i][j] = f[i-1][j]\) ；
  3. 当 \(c_{i-1,j} \ge c_{i,j}\) 并且 \(c_{i,j-1} \lt c_{i,j}\) 时 \(f[i][j] = f[i][j-1]\) ；
  4. 当 \(c_{i-1,j} \ge c_{i,j}\) 并且 \(c_{i,j-1} \ge c_{i,j}\) 时 \(f[i][j] = 0\)

我们可以按照这个思路递推得到 \(f[n][m]\) 就是我们的答案。
实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 11;
int n, m, f[11][11];
char c[12][12];
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%s", c[i]+1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 1; j <= m; j ++) {
            if (i == 1 && j == 1) f[1][1] = 1;
            else f[i][j] =
                    ((c[i-1][j] < c[i][j]) ? f[i-1][j] : 0)
                +   ((c[i][j-1] < c[i][j]) ? f[i][j-1] : 0);
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

注意：这里有两个点要注意的。
注意点1是：我对 \(c\) 数组的输入，是保证所有的字符从 \(c[1][1]\) 到 \(c[n][m]\) 的；
注意点2是：我在计算 \(f[i][j]\) 的时候才用了两个三目运算符来代替了繁琐的判断。请好好领会老师的代码中所蕴含的简洁的哲学。

DP入门——迷宫行走方案2

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原文地址：https://www.cnblogs.com/quanjun/p/13247086.html