标签：复杂 ret 个数 前置 The number spl ber row
简述
从某种意义上来说，莫比乌斯反演可以看作是在数论函数上的容斥。当然，它有多种形式，要视具体情况分析。
前置知识
关于取值个数的问题（对于后面讨论时间复杂度有所帮助）
\[\forall n\in N_+,|\{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor|d\in N_+\}|\le 2\sqrt{n}
\]
证明
若\(d\le\sqrt{n}\)，则能得到总共不超过\(\sqrt{n}\)种结果（\(d\)只有\(sqrt{n}\)种选择）；
若\(d>\sqrt{n}\)，则因为\(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\le\frac{n}{d}\le\sqrt{n}\)，且\(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)为整数，所以也最多不超过\(\sqrt{n}\)种取值；
综上所述，总共不超过\(2\sqrt{n}\)种可能取值。
\(\text{Dirichlet}\)卷积
定义
定义两个数论函数\(f,g\)的\(\text{Dirichlet}\)卷积为：
\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})
\]
性质
\(\text{Dirichlet}\)卷积满足交换律和结合律。其中\(\epsilon\)为\(\text{Dirichlet}\)卷积的单位元，任何数论函数卷上单位元都为其本身。
常见形式
\[\begin{align*}
\epsilon& =\mu *1\\operatorname{d}& =1*1\\sigma& =\operatorname{id}*1\\phi& =\mu*\operatorname{id}\\end{align*}\]
\(\text{M?bius}\)反演
公式
\[\begin{align*}
f(n)&=\sum_{d|n}g(d)\\Leftrightarrow g(n)&=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})\\end{align*}\]
证明
(1)直接代入
\[\begin{align*}
\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})&=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}g(k)\&=\sum_{k|n}g(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)\&=\sum_{k|n}g(k)\epsilon(\frac{n}{k})\&=g(n)
\end{align*}\]
(2)进行卷积
\[\begin{align*}
f*\mu=g*1*\mu=g*\epsilon=g
\end{align*}\]
莫比乌斯反演
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原文地址：https://www.cnblogs.com/hkr04/p/Mobius-inversion.html
