元组关系演算（从集合的角度深入浅出）

一、定义

? 元组关系演算中，以元组为单位，通过公式约束所要查找元组的条件，可以表示为: \({t\ |\ \psi(t)}\)，使φ(t)为真的元组t的集合。其中: t为元组变量，即查询目的，φ为元组演算的谓词公式，即查询的条件。
按照集合的思想来理解即为：个体词t具有谓词φ(t)的性质。

二、元组关系演算的谓词公式

? \(\psi(t)\) 可以通过原子公式、约束公式、自由变量、运算符构成。

（Ⅰ）原子公式分为三类

①、\(R(t)\)：\(R\)为关系名，表示\(t\)是\(R\)中的元组；

②、\(t[\ i\ ]\quad\theta\quad u[\ j\ ]\)：元组\(t\)的第\(i\)个分量与元组\(u\)的第\(j\)个分量进行比较运算，运算符号用\(\theta\)来表示。比如\(t[\ 2\ ]\quad\lt\quad u[\ 3\ ]\)。

③、\(t[\ i\ ]\quad\theta\quad C\)：元组的第\(i\)个分量与常量\(C\)进行比较运算，运算符号用\(\theta\)来表示。比如\(t[\ 2\ ]\quad\lt\quad 5\)。

（Ⅱ）约束元祖变量 \(\&\&\) 自由元组变量

若元组演算公式中的一个元组变量前有“全称量词”和“存在量词”，则称该变量为约束元组变量; 否则称为自由元组变量。
即: 在公式\(【(\exists\ t)\ \psi(t)】\)和\(【(\forall\ t)\ \psi(t)】\)中，\(\psi\)称为量词的辖域。\(t\)出现在\((\exists\ t)\)或\((\forall\ t)\)的辖域内，\(t\)为约束元组变量，被量词所绑定。任何没有以这种方法显示绑定的变量都称为自由变量。

（Ⅲ）为此公式\(\psi(t)\)的递归定义

①、原子公式是公式；

②、通过吸取连接词、合取连接词所构成的复合公式也是公式。
设\(\psi_1(t_1)\)和\(\psi_2(t_2)\)是公式，则?\(\psi_1(t_1)\)，\(\psi_1(t_1)\ \bigwedge\ \psi_2(t_2)\)和\(\psi_1(t_1)\ \bigvee\ \psi_2(t_2)\)也是公式；

③、利用全称量词和存在量词构成的公式也是\(\psi(t)\)的一种表现形式 。
\(【(\exists\ t)\ \psi(t)】\)和\(【(\forall\ t)\ \psi(t)】\)也是公式;

④、有限次利用上述规则得到的式子都是公式；

三、公式运算符及其优先级

（Ⅰ）算术比较符: <, >, ≥, ≤, ≠, =；

（Ⅱ）全称量词\(\forall\)和存在量词\(\exists\)；

（Ⅲ）逻辑运算符: \(\bigwedge\), \(\bigvee\), ?, \(\longrightarrow\)；

（Ⅳ）优先级: 算术比较符 > 全称量词\(\forall\)和存在量词\(\exists\) > 逻辑运算符；

四、元组关系演算与关系代数

? 在元组关系演算中，可以不用考虑为解决表的自然连接中产生数据冗余而进行投影属性列。
（注意：最好还是考虑，但是为了简化步骤就没有考虑）。

（Ⅰ）传统关系代数 到 元组关系演算

①、交操作：\(\{t | R(t)\ \bigwedge\ S(t)\}\);

②、并操作：\(\{t | R(t)\ \bigvee\ S(t)\}\);

③、差操作：\(\{t | R(t)\ \bigwedge\ ?S(t)\}\);

④、广义笛卡尔积操作：\(\{\ t(m+n)\ |\ (?u)(?v)\ （R(u) Λ S(v)）\ \bigwedge\ （t[\ i\ ]=u[\ j\ ]\ (i=1, 2, ..., m）\ \bigwedge\ t[\ i\ ]=v[\ k\ ])\ \}\)，
其中\((i=m+1, m+2, ..., m+n)\ (j=1, 2, ...,m)\ (k=1, 2, ..., n)\}\)；

（Ⅱ）专门关系代数 到 元组关系演算

（1） 选择操作：\(\{t\ |\ R(t)\ \bigwedge\ F\}\)，其中\(F\)是指查询条件。选取操作只是在原有的表上，将满足特定性质的元组提取出来，并没有形成新的表。

（2）投影操作: \(\{t(n)\ |\ (?u)\ (R(u)\ \bigwedge\ t[\ i\ ]\ =\ u[\ j\ ])\}\)，其中\((i=1, 2, ..., n, j∈[1, count_A(R)])\)。
即为，\(\exists u\ \in\ R\)，满足\(t[\ 1\ ]\ =\ u[\ 1\ ]\)。投影是建立了一个新的表，这个表中的列来自于原表中的属性列(感兴趣的、被选取出来的列)。

补充：

投影用存在量词?的原因

补充：为什么投影是要对所有的关系中元组进行操作(将所有的元组投影到属性列上)，但却用"存在量词?"而不是"全称量词?"？ 答：因为如果用了"全称量词?"，那么这句话将会被解释为："对于任意的u∈R，都满足t[i] = u[j]" ===> "新关系中某一个元组上的第i个分量t[i]等于原关系的第j列上所有的分> > > 量"，这显然是不正确的，这是因为一个t[i]有且仅有一个u[j]与之对应相等。所以说，我们只能表述为："在关系R中，总是存在某一个u元组，满足t[i] = u[j]"。 还有一种解释(更确切地说是理解)将会在下面提到。

五、浅析打开全称量词?和存在量词?的方式

（Ⅰ）存在量词?：当需求中含有“存在一个”、“至少一个”、“有一个”等词的时候。就像上述的投影操作一样：有且仅有一个\(R\)中的\(u\)元组，满足\(t[\ i\ ]\ =\ u[\ j\ ]\)。


（Ⅱ）全称量词?：当需求中含有“全部”、“所有”等词，并且将“全部”一词去掉有后改变原句句意的时候。eg：

①、“在进行操作的过程中选择某一集合中全部元素”的元素集合时，即此时的“全部”并不是默认值，默认值为“至少一个 / 存在”，比如说某个要求为：“查询选修了全部课程的学生”，此时将“全部”一词去掉后变为“查询选修了课程的学生”，不难发现，前一个是“选修了全部课程”，后一个是“只要是选修了课程，即至少选修了一门课程”，将两者比较，两句话的句意完全不同。

②、在经过一系列操作后所得到的集合中选择全部元组时，即此时的“全部”为默认值：对于“查询选修了‘刘伟’老师的课程的全部学生”，将“全部”一词去掉后变为“查询选修了‘刘伟’老师的课程的学生”，这并没有\(len\)何差别，所以自然就“不配”使用“全称量词?”了。


补充：

关于“投影中使用‘存在量词?’的另一角度的理解”：“将所有的元组投影到属性列上”，把“所有的”一词去掉变为“将元组投影到属性列上”，显然这两句话其实是一样的意思。

六、命题的否定 VS 否命题

存在一个命题为：若\(p\)，则\(q\)。

（Ⅰ）命题的否定: 若\(p\)，则\(?q\)。（√）

也就是说，命题的否定只会否定命题的结论，并不会否定命题的条件。简单来说就是与原命题唱反调，所以他与原命题是完全对立的。所以我们研究问题的时候用的“正难则反”就是研究问题的否定形式\(?q\)。

（Ⅱ）否命题: 若\(?p\)，则\(?q\)。（\(PASS\)）

也就是说，否命题会把命题的条件和结论一起否定掉。他与原命题的真假无关，与逆命题同真同假。

（Ⅲ）全称量词?和存在量词?的否定形式

（1）全称量词?的否定形式

①、更换量词: 将全称量词?换成存在量词?；
②、将结论否定；

也就是说: 全称量词?的否定是一个存在命题。

（2）存在量词?的否定形式

①、更换量词: 将存在量词?换成全称量词?；
②、将结论否定；

也就是说: 存在量词?的否定是一个全称命题；

七、总结，深入全称量词?和存在量词?的打开方式

研究“全称量词?和存在量词?”本质上就是研究“集合”的有关问题，所以要先把握住集合与集合之间的关系。任何两个集合的关系有且仅可能有3种：相交、包含、相离，并且这三种关系又有如下的关系：

（1）“相离” 与“相交”∪“包含”：互为对立事件，即“全部都没” \(VS\) “至少有一”；
（2）“包含” 与“相交”∪“相离”：互为对立事件，即“全部都有” \(VS\) “至少没一”；

了解了这个后，我们就可进一步的归纳出使用"全称量词?和存在量词?"的情景：

（1）当某个事件被表述为两个集合“相离”或者“包含”的时候 ：使用“全称量词?”来表示“全部都没”或者“全部都有”；
（2）当某个事件被表述为两个集合“相交”的时候：使用“存在量词?”来表达“至少有一”或者“至少没一”;

举个栗子 ：

（1）相离：“没有选修过‘李力’老师教授的课程的同学”这个问题就可以被表述为：“\(A_i ∩ B = \phi\)”，其中\(A_i\) = {第\(i\)个学生的“学生-选课信息”的课程编号集合}，\(B\) = {‘李力’老师教授的课程的课程编号集合}；

（2）相交：“选修过‘李力’老师教授的课程的同学”这个问题就可以被表述为：“\(A_i ∩ B ≠ \phi\)”，其中\(A_i\) = {第\(i\)个学生的“学生-选课信息”的课程编号集合}，\(B\) = {‘李力’老师教授的课程的课程编号集合}；

（3）包含：“选修了‘李力’老师教授的全部课程的同学”这个问题就可以被表述为：“\(A_i\) ? \(B\)”，其中\(A_i\) = {第\(i\)个学生的“学生-选课信息”的课程编号集合}，B = {‘李力’老师教授的课程的课程编号集合}；

从“正”、“反”两个方面考虑问题的角度来说：

（1）当考虑的问题是“全部都有”时则可以从正面入手，在关系代数中利用除法，在元组演算中利用“全称量词?”；

（2）当考虑的问题是“至少没有一个”时则可以从反面入手，在关系代数中利用除法 + 减法，在元组演算则从正面入手，直接利用“存在量词?”，译作“存在一个没有满足……”；

（3）当考虑的问题是“至少存在一个”时则可以从正面入手，在关系代数中利用自然连接，在元组演算中利用“存在量词?”，译作“存在一个满足……”；

（4）当考虑的问题是“全部都无”时则可以从反面入手，在关系代数中利用自然连接 + 减法，在元组演算中利用“全称量词?”；

八、蕴含式（包括existsS相关子查询的分析）

传送门：由元组关系演算到SQL命令之蕴含式；