Min25筛

时间：2020-07-09 00:48:22 阅读：136 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

　　顾名思义，这是\(min25dalao\)发明的算法，可以用来处理一些积性函数求和的问题。

\[\sum_{i=1}^{n} F(i) \]

前置知识
数论函数基本性质,比较基础就不说了...
使用前提
\(1.\forall p \in prime　F(p)\)是一个低阶多项式
\(2.\forall p \in prime,k \in N_+　F(p^k)\)可以快速求出
~~(条件说实话还是比较严苛的...)~~
解决问题
我们明确了一些大前提，那么到底该怎么实现呢？
首先将和式拆开，即分成

\[\sum_{p \in prime} F(p) + \sum_{i \notin prime} F(i) \]

　　先考虑前半部分，也就是所有质数上的值。

\(step 1\) 求解质数
考虑构造一个完全积性函数\(F‘(x)\)，使得\(\forall p \in prime,F‘(p)=F(p)\)
那么我们只要求出\(F‘(x)\)在所有质数上的值即可
这里我们运用\(DP\)的思想，设

\[g(n,m)=\sum_{i=1}^{n} F‘(i)[i \in prime | minp(i)>p_m] \]

　　那么可以得到转移

\[g(n,m)=\begin{cases} g(n,m-1)&p_m>\sqrt{n}\g(n,m-1)-F‘(p_m)[g(\frac{n}{p_m},m-1)-g(p_m-1,m-1)]&p_m<=\sqrt{n} \end{cases} \]

　　我们设\(k = max\){\(k|p_k<=\sqrt{n}\)}
　　则答案显然为\(g(n,k)\)
　　这样前半部分就结束了，我们接下来考虑求解整个函数。

\[S(n,m)=\sum_{i=1}^{n}F(i)[minp(i)>p_m] \]

　　那么可以得到转移

\[S(n,m)=g(n,k)-\sum_{i=1}^{m-1}F(p_i)+\sum_{i>m} \sum_{e} F(p_i^e)(S(\frac{n}{p_i^e},i)+[e>1]) \]

　　这样我们就做完了。

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原文地址：https://www.cnblogs.com/leukocyte/p/13268508.html

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