标签：函数 直接 图片 相等 证明 time 形式 次方 inf
只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是二次的整式方程，有且仅有两个根（重根按重数计算）。
一般形式为 \(ax^2+bx+c=0(a,b,c\in R,a\neq 0)\)。
适用于 \(x^2=a\) 或 \((ax+b)^2=c\) 的形式，直接开平方即可。
前者：\(x=\pm\sqrt a\)
后者：\(x=\frac{\pm\sqrt c-b}{a}\)
先将方程整理为 \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\)。
将等号左边用十字相乘法因式分解得 \((cx+d)(px+q)=0\ (cp=a,cq+dp=b,dq=c)\)
分别令 \((cx+d)=0,(px+q)=0\) 求出 \(x\)，就得到了方程的解。
\(x_1=-\frac{d}{c},x_2=-\frac{q}{p}\)
将方程两边同时除以 \(a\) 并将常数项移到右边，得 \(x^2+px=q\)
在方程两边同时添上一个数 \(k\)，使得等号左边构成完全平方式。
由完全平方式的性质可得 \(p=2\sqrt k\)
\(\therefore k=(\frac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4}\)
因式分解后得到 \((x+\dfrac{p}{2})^2=q+\dfrac{p^2}{4}\)
用开平方法得出根。
此公式是由配方法得来的。
\(ax^2+bx+c=0\)
\(ax^2+bx=-c\)
\(x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\)
\(x^2+2\times\frac{b}{2a}\times x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}\)
\((x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)
\(x=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}-\frac{b}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
判别式 \(\Delta=b^2-4ac\) （因为公式中它在根号里）。
对于一个一元二次方程的两个根 \(x_1,x_2\)，满足：
证明：将公式代入即可。
\(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\(x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\times\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{c}{a}\)
基本表示形式：\(y=ax^2+bx+c(a\neq 0)\) （一个二次单项式或多项式）。
一条对称轴与 \(y\) 轴平行或重合于 \(y\) 轴，垂直于 \(x\) 轴的抛物线。开口朝上或朝下。
上图为函数 \(y=\dfrac{1}{3}x^2-x+1\) 的图像。
二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线 \(x=-\dfrac{b}{2a}\)。
我们在抛物线上取一点 \(P(x_1,y_1)\) （不在对称轴上）和这个点的对称点 \(Q(x_2,y_2)\)。根据轴对称的定义可得，这两点到对称轴距离相等，即对称轴的位置 \(x\) 在 \(\frac{x_1+x_2}{2}\) 上。
同时也有 \(y_1=y_2\)，即 \(ax_1^2+bx_1+c=ax_2^2+bx_2+c\)。
\(ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2\)
\(a(x_1+x_2)(x_1-x_2)=-b(x_1-x_2)\)
因为 \(x_1\neq x_2\)，所以 \(x_1-x_2\neq 0\)
\(a(x_1+x_2)=-b\)
\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\)
对称轴 \(x=-\dfrac{b}{2a}\)。
\(a,b\) 同号时对称轴在 \(y\) 轴左侧，异号时在 \(y\) 轴右侧。
对称轴与抛物线的交点。
\(y=ax^2+bx+c\\=\dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{b^2}{2a}+c\\=\dfrac{4ac-b^2}{4a}\)
顶点为 \(P(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})\)。
顶点的位置决定了函数的最大值（\(a<0\) 时）或最小值（\(a>0\) 时）。函数在 \(x=-\dfrac{b}{2a}\) 处取得最大/小值 \(\dfrac{4ac-b^2}{4a}\)。
\(a>0\) 时，开口向上；\(a<0\) 时，开口向下。
\(|a|\) 越大，开口越小；\(|a|\) 越小，开口越大。
与 \(y\) 轴的交点：\((0,c)\)
与 \(x\) 轴的交点：
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(\Delta>0\) 时，有 2 个
\(\Delta=0\) 时，有 1 个
\(\Delta<0\) 时，无
即求方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的解。
\(a>0\) 时，值域为 \(\Big[\dfrac{4ac-b^2}{4a},+\infty\Big)\)
\(a<0\) 时，值域为 \(\Big(-\infty,\dfrac{4ac-b^2}{4a}\Big]\)
\(y=ax^2+bx+c\)
\(y=(x-h)^2+k\)
顶点为 \((h,k)\)，对称轴为直线 \(x=h\)。
\(x=h\) 时，函数有最大/小值 \(k\)。
只能用于抛物线与 \(x\) 轴有交点的情况（\(b^2-4ac\geqslant 0\)）
\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)
其中 \(x_1\) 和 \(x_2\) 是方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的两个实根。
抛物线交 \(x\) 轴于 \((x_1,0)\) 和 \((x_2,0)\)。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/creating-2007/p/13280658.html
