完美子图

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完美子图 (分治 \(\star\star\star?\))

Descrption

• 小 \(Q\) 和小 \(P\) 都非常喜欢做一些有趣的题目，他们经常互相出一些题目来考对方。
• 一天，小 \(Q\) 给小 \(P\) 出了这样一道题目：给出一个 \(n\times n\) 的网格图，在网格中放置 \(n\) 个点，（不会有两个点放置在同一个网格中）。如果一个 \(m\times m(1≤m≤n)\) 的子网格图恰好包含 \(m\) 个点,则称这样的子网格图为完美子网格图。
• 现在小 \(Q\) 问小 \(P\)，对于给定的网格图存在多少个完美子网格图。小 \(P\) 这回被难住了，他请你来帮忙，你能帮他解决这个问题吗？

Input

• 第一行，一个正整数 \(n\)，表示网格图的大小以及点的数量。
• 接下来 \(n\) 行，每行两个整数, \(x_i,y_i\)，表示第 \(i\) 个点的坐标。
• 保证每一行和每一列都只有一个点。

Output

• 一行，完美子网格图的数量。

Sample Input

5
1 1
3 2
2 4
5 5
4 3

Sample Output

10

Hint

• 显然，分别以 \((2,2)\) 和 \((4,4)\) 为左上,右下顶点的一个子网格图中有 \(3\) 个点，我们找到了一个完美子网格图，类似的完美子网格图在原图中能找出 \(10\) 个。
• 对于 \(30\%\) 的数据，\(n ≤ 100\);
• 对于 \(60\%\) 的数据，\(n ≤ 5000\) ;
• 对于 \(100\%\) 的数据，\(n ≤ 50000\) ;
• 来源：\(Codeforces\ 526F\)

分析

• 每行每列只有一个，我们很快就能想到我们做状压 \(dp\) 第一题《特殊方格棋盘》，很容易用一维表示放置状态。
• 这样我们就得到了一个 \(1\sim n\) 组成的一个序列。问题就可以简化为：给定了 \(n\) 个数的一个排列，问这个序列中有多少个子区间的数恰好的连续的。相当于统计有多少个子区间 \([l,r]\) 满足 \(Max-Min=r-l\)。\(Max,Min\) 分别为区间 $ [l,r]$ 的最大、最小值。
• 对这个问题，我们可以用分治来解决，我们把区间分成两部分即：\([l,mid],[mid+1,r]\ (mid=\frac{l+r}{2})\) ，这样我们只需要考虑跨过 \(mid\) 的区间，不跨的则是递归的子问题。
  1. 预处理去区间的最大最小值：
  • \(Min[i],Max[i]\)：当 \(l\le i\le mid\) 时表示 \(i\sim mid\) 的最小值和最大值。
  • \(Mix[i],Max[i]\)：当 \(mid+1\le i \le r\) 时表示 \(mid+1\sim i\) 的最小、最大值。
  2. 如果单个的点正好是一个 \(1\times 1\) 的完美子图。在两个区间合并的时候，跨过 \(mid\) 的区间的最值问题分成下面四种情况：
     1. 最大最小值均在左边，此时我们枚举区间的左端点 \(i\) ，则右端点 \(j=i+Max[i]-Min[i]\) 。
     2. 最大最小值均在右边，此时我们枚举右端点 \(i\)，则有左端点 \(j=i-(Max[i]-Min[i])\) 。
     3. 最小值在 \(mid\) 左边，最大值在 \(mid\) 右边，枚举区间的左端点 \(i\) 则有：\(Max[j]-Min[i]=j-i\Rightarrow Min[i]-i=Min[j]-j\) 。
     4. 最小值在 \(mid\) 右边，最大值在 \(mid\) 左边，枚举区间右端点 \(i\) 则有：\(j=i-(Max[j]-Min[i])\Rightarrow Min[i]+i=Max[j]+j\) 。
  3. 对于上面的情况 \(1,2\) 容易解决，只要枚举其中一个端点另一个端点就确定了，但第 \(3,4\) 种情况的端点不确定，比如说第 \(3\) 中情况，当左边的 \(i\) 确定了，但右边的 \(j\) 并不确定，因为随着 向右扫描，\(Max[j]\) 在发生变化，所以要扫描右边所有满足条件的 \(j\) 。不过我们不需要对每一个 \(i\) 都对 \(j\) 从 \(mid+1\) 开始扫描，而只需从上一个 \(j\) 接着往下扫描即可，因为当 \(i--\) 的时候，如果左侧增加的这个数更新了最小值，则上一轮已经扫描过 \(mid+1\sim j\) 仍然满足 \(Min[j]>Min[i]\) 。如果增加的是一个较大的数且大于了 \(Max[j]\) 此时我们也只需往后扫描找到当前的满足条件的 \(j\) 即可。具体情况见代码。

Code

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=1e5+5,Inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
int Min[maxn],Max[maxn],cnt[maxn<<1];
int n,a[maxn];
LL ans;
void Divi(int L,int R){
    if(L==R){ans++;return;}//单独一个是完美子图
    int mid=(L+R)>>1;
    Divi(L,mid);
    Divi(mid+1,R);
    //预处理左右两边的最值
    Max[mid]=Min[mid]=a[mid];
    Max[mid+1]=Min[mid+1]=a[mid+1];
    for(int i=mid-1;i>=L;--i){
        Max[i]=std::max(Max[i+1],a[i]);
        Min[i]=std::min(Min[i+1],a[i]);
    }
    for(int i=mid+2;i<=R;++i){
        Max[i]=std::max(Max[i-1],a[i]);
        Min[i]=std::min(Min[i-1],a[i]);
    }
    for(int i=mid;i>=L;i--){//最大、最小均在左侧
        int j=Max[i]-Min[i]+i;//区间[i,j]
const int maxn=1e5+5,Inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
int Min[maxn],Max[maxn],cnt[maxn<<1];
int n,a[maxn];
LL ans;
void Divi(int L,int R){
    if(L==R){ans++;return;}//单独一个是完美子图
    int mid=(L+R)>>1;
    Divi(L,mid);
    Divi(mid+1,R);
    //预处理左右两边的最值
    Max[mid]=Min[mid]=a[mid];
    Max[mid+1]=Min[mid+1]=a[mid+1];
    for(int i=mid-1;i>=L;--i){
        Max[i]=std::max(Max[i+1],a[i]);
        Min[i]=std::min(Min[i+1],a[i]);
    }
    for(int i=mid+2;i<=R;++i){
        Max[i]=std::max(Max[i-1],a[i]);
        Min[i]=std::min(Min[i-1],a[i]);
    }
    for(int i=mid;i>=L;i--){//最大、最小均在左侧
        int j=Max[i]-Min[i]+i;//区间[i,j]
        if(j<=R && j>mid && Max[j]<Max[i] && Min[i]<Min[j])
            ans++;
    }
    for(int i=mid+1;i<=R;++i){//都在右侧
        int j=i-Max[i]+Min[i];
        if(j<=mid && j>=L && Max[j]<Max[i] && Min[j]>Min[i])
            ans++;
    }
    int j=mid+1,k=mid+1;
    for(int i=mid;i>=L;--i){//左小右大:Min[i]-i==Max[j]-j
        while(j<=R && Min[j]>Min[i])//右边的最小值要比左边的大
            cnt[Max[j]-j+n]++,++j;//Max[j]-j有可能为负，所以+n
        while(k< j&& Max[k]<Max[i])//右边如果有从mid+1开始连续的区间的最大值比左边小--
            cnt[Max[k]-k+n]--,++k;
        ans+=(LL)cnt[Min[i]-i+n];
    }
    while(k<j)//清空cnt数组，memset也可以，但会超时
        cnt[Max[k]-k+n]--,k++;
    j=mid;k=mid;
    for(int i=mid+1;i<=R;++i){//左大右小:Min[i]+i==Max[j]+j
        while(j>=L && Min[j]>Min[i])
            cnt[Max[j]+j]++,--j;
        while(k>j && Max[k]<Max[i])
            cnt[Max[k]+k]--,--k;
        ans+=(LL)cnt[Min[i]+i];
    }
    while(k>j)//清空cnt数组，memset也可以，但会超时
        cnt[Max[k]+k]--,--k;
}
void Solve(){
    scanf("%d",&n);
    int x,y;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d%d",&x,&y),a[x]=y;
    Divi(1,n);
    printf("%lld\n",ans);
}
int main() {
    Solve();
    return 0;
}]
        if(j<=R && j>mid && Max[j]<Max[i] && Min[i]<Min[j])
            ans++;
    }
    for(int i=mid+1;i<=R;++i){//都在右侧
        int j=i-Max[i]+Min[i];
        if(j<=mid && j>=L && Max[j]<Max[i] && Min[j]>Min[i])
            ans++;
    }
    int j=mid+1,k=mid+1;
    for(int i=mid;i>=L;--i){//左小右大:Min[i]-i==Max[j]-j
        while(j<=R && Min[j]>Min[i])//右边的最小值要比左边的大
            cnt[Max[j]-j+n]++,++j;//Max[j]-j有可能为负，所以+n
        while(k<j && Max[k]<Max[i])//右边如果有从mid+1开始连续的区间的最大值比左边小--
            cnt[Max[k]-k+n]--,++k;
        ans+=(LL)cnt[Min[i]-i+n];
    }
    while(k<j)//清空，避免影响下面
        cnt[Max[k]-k+n]--,k++;
    j=mid;k=mid;
    for(int i=mid+1;i<=R;++i){//左大右小:Min[i]+i==Max[j]+j
        while(j>=L && Min[j]>Min[i])
            cnt[Max[j]+j]++,--j;
        while(k>j && Max[k]<Max[i])
            cnt[Max[k]+k]--,--k;
        ans+=(LL)cnt[Min[i]+i];
    }
    while(k>j)
        cnt[Max[k]+k]--,--k;
}
void Solve(){
    scanf("%d",&n);
    int x,y;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d%d",&x,&y),a[x]=y;
    Divi(1,n);
    printf("%lld\n",ans);
}
int main() {
    Solve();
    return 0;
}

完美子图

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