动态规划_背包问题

背包问题：

• 问题描述有\(n\)件物品， 每件物品的体积为\(V_i\),价值为\(W_i\), 有一个体积为\(V\)的背包， 求总体积不大于\(V\)的所有物品总价值最大是多少

01背包问题: 每件物品只能用一次

状态表示： \(dp[i][j]\)

• 集合：所有选法
• 条件：仅从前\(i\)个物品中选择，而且使得总体积不超过\(j\)
• 属性：\(dp[i][j]\), 最大价值

状态计算： 集合的划分

朴素做法：二维

void solve() {
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        for(int j = 0; j <= V; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(v[i] <= j) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    printf("%d\n", dp[N][V]);
}

优化版本：等价变形，每一层由于上一层有关

void solve() {
    for(int i = 1; i <= N; i++) 
        for(int j = V; j >= v[i]; j--) 
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
    printf("%d\n", dp[V]);
}

完全背包：每件物品无使用次数的限制

朴素做法

void solve() {
    for(int i = 1; i <= n; i++) // 枚举所有用到物品
        for(int j = 0; j <= V; j++) // 枚举所有体积
            for(int k = 0; k * v[i] <= j; k++) // 枚举每件物品用到的次数
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + w[i] * k);
    cout << dp[n][V];
}

优化-1

优化思路：

\(dp(i, j) = dp(i - 1, j - v_i \times k) + w_i \times k\)

\(dp(i, j)\)展开式：

\(dp(i, j) = max(dp(i - 1, j), dp(i - 1, j - v_i) + w_i, dp(i - 1,j - 2 \times v_i + 2 \times w_i，...)\)
\(dp(i,j - v_i) = max(dp(i - 1,j - v), dp(i - 1,j - 2 \times v_i + w_i, ...)\)

由以上两式可得：

\(dp(i, j) = max(dp(i - 1, j), dp(i, j - v_i) + w_i)\)

• \(dp(i, j) = dp(i - 1, j)\) 表示第i个物品不选
• \(dp(i, j) = dp(i, j - v_i) + w_i)\)： 表示第i个物品选若干个

void solve() {
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 0; j <= V; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(j >= v[i]) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << dp[n][V];
}

优化-2: 变成一维

void solve() {
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = v[i]; j <= V; j++) 
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
    }
    cout << dp[V];
}

完全背包与01背包的区别：状态方程的比较

• 01背包：\(dp(i,j) = max(dp(i - 1, j), dp(i - 1, j - v_i) + w_i)\)
• 完全背包： \(dp(i, j) = max(dp(i - 1, j), dp(i, j - v_i) + w_i)\)

多重背包：每个物品的数量有限：仅有s[i]个

朴素暴力做法： \(O(nms)\)

void solve() {
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 0; j <= V; j++) 
            for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++)
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + w[i] * k);
    cout << dp[n][V];
}

优化版本1：二进制拆分优化: \(O(nmlogs)\)

• 例如： 体积为\(v\)的物品有\(s\)个，将这些物品按照2的幂次方个物品打包成新物品，可将其转化成01背包问题。
• 对每个物品的个数进行优化
• 假设有1023个物品，用多少个数可以表示从0到1023之间任意一个数？
• 将1023按照二进制表示拆分成十个数(\(log1023 < 10\)),每个数表示其二进制表示中的一位

void solve() {
    int cnt = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        int a, b, c; scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        int k = 1;
        while(k <= c) {
            cnt++;
            v[cnt] = k * a;
            w[cnt] = k * b;
            c -= k;
            k *= 2;
        }
        if(c) { // 2^k + c == v
            cnt++;
            v[cnt] = a * c;
            w[cnt] = b * c;
        }
    }
    
    for(int i = 1; i <= cnt; i++)
        for(int j = m; j >= v[i]; j--)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
            
    printf("%d\n", dp[m]);
}

优化版本2：滑动窗口：\(O()\)

分组背包

void solve() {
for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &s[i]);
        for(int j = 0; j < s[i]; j++)
            scanf("%d%d", &v[i][j], &w[i][j]);
}
for(int i = 1; i <= n; i++) 
    for(int j = m; j >= 0; j--)
        for(int k = 0; k < s[i]; k++)
            if(v[i][k] <= j)
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i][k]] + w[i][k]);
                
printf("%d\n", dp[m]);
}

1013. 机器分配

• 每个公司当成一个物品组
• 可以选择用\(dfs\)
• 可抽象成组合背包问题

487. 金明的预算方案

二维费用的背包问题+01背包

• 状态表示：\(dp[i, j, k]\),从前\(i\)个物品中选，总体积不超过\(j\)、总重量不超过\(k\)的总价值最大值
• 状态计算：
  1.如果不选择第\(i\)个物品，\(dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k]\)
  2.如果选择第i个物品，\(dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i - 1][j - v[i]][k - w[i]] + b[i])\)
• 解释：当选择了第\(i\)个物品，其总体积为\(j\),总重量为\(k\), 因此，去掉第\(i\)个物品，其总价值为\(dp[i - 1][j - v[i]][k - w[i]]\),再加上第\(i\)个物品的价值即为选择第\(i\)个物品之后的总价值

1020. 潜水员

• 题目中的要求氧气和氮气体积至少为多少，求所需要的气缸重量最小值
• 与常见背包问题略有不同，通常的背包问题要求体积不超过某一值
• 状态表示：氧气体积至少为\(j\)，氮气体积至少为\(k\),气缸重量的最小值
• 初始化：\(dp[0][0] = 0\),其他状态表示为正无穷

int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
int n; scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d%d", &o2[i], &n2[i], &v[i]);

memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
dp[0][0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
    for(int j = x; j >= 0; j--) {
        for(int k = y; k >= 0; k--) {
            // 当j - o2[i] < 0 时，表示氧气体积至少为j - o2[i]，此时该状态是合法的，但该状态数为0，氮气同理
            dp[j][k] = min(dp[j][k], dp[max(0, j - o2[i])][max(0, k - n2[i])] + v[i]);
        }
    }
}
printf("%d", dp[x][y]);

背包求具体方案

• 题目要求输出字典序最小的方案，因此需要逆序求\(dp数组\)，正序求方案