导数+放缩

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已知函数\(f(x)=\frac{x}{lnx}-ax\)

\(1.\)若函数\(f(x)\)在\((1,+∞)\)上是减函数，求实数\(a\)的最小值

\(2.\)若存在\(x_1,x_2\in [e,e^2]\)，使\(f(x_1)\le f^{‘}(x_2)+a(a>0)\)成立，求实数\(a\)的取值范围

解答：

\(1.\)

最大值在\(x=e^2\)取到，为\(\frac{1}{4}-a\)

因为在\((1,+∞)\)是减函数，所以\(\frac{1}{4}-a\le 0\)

所以\(a=\frac{1}{4}\)

\(2.\)

只要让

由\(1.\)得到，\(f^{‘}_{max}(x)=f^{‘}(e^2)=\frac{1}{4}-a\)

当函数在\([e,e^2]\)不存在极值点，即\(a\ge \frac{1}{4}\)时

\(f(x)\)在\([e,e^2]\)单调减

所以得出

当\(0<a<\frac{1}{4}\)时

所以\(f(x)\)在\([e,e^2]\)有极小值点\(x_0\)

与\(0<a<\frac{1}{4}\)矛盾

所以\(a\ge \frac{1}{2}-\frac{1}{4e^2}\)

导数+放缩

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原文地址：https://www.cnblogs.com/knife-rose/p/13285785.html