标签：lin 区间 inline 一个 没有 证明 mat line span
已知函数\(f(x)=sinx-ln(1+x)\)，证明：
\((1)\) \(f‘(x)\)在区间\((-1,\frac{π}{2})\)存在唯一极大值
\((2)\) \(f(x)\)有且仅有两个零点
解：
\((1)\)
\(x\in (-1,\frac{π}{2})\)时，\(f‘‘(x)\)单调减
所以\((-1,\frac{π}{2})\)上，\(f‘(x)\)有唯一极大值点
\((2)\)
当\(x\in (-1,0]\)
\(f‘‘(x)>0,f‘(x)\)单调增
\(f‘(0)=0\)，所以\(x\in (-1,0)\)时\(f‘(x)<0\)，\(f(x)\)在\((-1,0)\)单调减
\(f(0)=0\)，所以\((-1,0]\)上\(f(x)\)仅有一个零点
当\(x\in (0,\frac{π}{2}]\)
假设\(f‘(x)\)在\((-1,\frac{π}{2})\)上极值点为\(α\)，则在\((0,α),f‘(x)\)单调增，\((α,\frac{π}{2})\)单调减
\(f‘(0)=0,f‘(\frac{π}{2})<0\)，所以存在\(β\in (α,\frac{π}{2})\)使得\(f‘(β)=0,f(β)\)是极大值点
\(f(0)=0,f(\frac{π}{2})>0\)，所以\((0,\frac{π}{2})\)中没有零点
当\(x\in (\frac{π}{2})\)
\(f‘(x)<0\)，所以\(f(x)\)单调减
\(f(\frac{π}{2})>0,f(π)<0\)，所以存在唯一零点
当\(x\in (π,+∞)\)
\(ln(x+1)>0\)，所以\(f(x)<0\)
综上，\(f(x)\)在\((-1,+∞)\)有且仅有两个零点
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原文地址：https://www.cnblogs.com/knife-rose/p/13291924.html
