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1 orthonormal 向量与 Orthogonal 矩阵
orthonormal 向量定义为 ,任意向量 相互垂直,且模长为1;
如果将 orthonormal 向量按列组织成矩阵,矩阵为 Orthogonal 矩阵,满足如下性质:
;
当 为方阵时,为其逆矩阵;当 为长方形矩阵时,为其左逆;
当矩阵 Q 为正交矩阵时,对向量变换变换前后点积不发生改变,,证明如下:
,当 x = y 时,有 。
对任意向量 b ,可以分解为一组正交向量的线性组合,,要求解系数x,可先写成矩阵形式:
,, ;
因此,向量 b 可分解为 。
2 Gram-Schmidt 与 QR 分解
对矩阵 ,可以将其转换为正交矩阵 ,方法如下:
1)向量 方向保持不变,将其长度归一化, ;
2)向量 可分解为向量 投影分量与垂直于向量 的两分量,剔除投影分量得 ,;
3)同理,剔除向量 在 , 上投影分量得 , ;
4)依照如上方法,可以对所有向量完成正交化。
以上处理可以使用矩阵表示,矩阵 Q 为矩阵 A 的列进行线性变换结果,故可写为 A=QR 。
1)向量 与向量 具有相同方向,故可表示为 ;
2)向量 被分解为 方向向量,可表示为 ;
3)向量 被分解为 方向向量,可表示为 ;
4)综上表示为矩阵形式 。
3 求解 Ax=b
使用 Gram-Schmidt 可将矩阵 A 转换为正交矩阵 Q,正交矩阵 Q 可简化 Ax=b 运算:
1)最小二乘法求解 ;
2)带入 得 ,化简得 ;
3)不管长方形矩阵还是方阵,都有 ,故上式可化简为 ;
4)由于 R 为上三角矩阵,使用回代法即可求解。
参考资料 Linear Algebra And Its Applications Gilbert Strang
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原文地址:https://www.cnblogs.com/luofeiju/p/13294501.html