标签:行列式 发送 导致 cat ber 使用 因此 次数 交换
行列式使用如下性质定义
1 单位矩阵行列式值为 1,,对于任意单位矩阵均成立;
2 当矩阵交换一行后,行列式值改变符号,如置换矩阵的行列式值为 (根据行交换次数决定);
3 矩阵任意行线性变换导致行列式值产生线性变换:
, ;
使用以上三条基本性质,可以推导更多性质:
4 如果矩阵两行相等,行列式值为 0;
利用性质2,交换两相等行,行列式值改变符号,故行列式值必须为 0;
5 对矩阵任意两行做如下运算:行2 = 行2 - k * 行1,新矩阵行列式值不发生改变,
利用性质3, ;通过该性质,可以知道矩阵消元法仅改变矩阵行列式值的符号,;
6 如果矩阵中存在一行全为 0, 矩阵行列式值为 0;
利用性质5,将全零行改写为任意非零行与全零行的和,得到两个全零行,故原矩阵行列式值为 0;
7 上三角矩阵或者下三角矩阵行列式值为对角元素之积,;
1)利用性质5,使用消元法可以对非零元素进行消元处理,最终形成对角矩阵,其对角元素保持不变,即 det U = det D;
2)利用性质3, ;
3)利用性质1,由于 ,则上三角矩阵行列式值为为对角元素之积;
8 如果矩阵为奇异矩阵,行列式值为 0;如果矩阵为非奇异矩阵,行列式值不为 0;
当矩阵为奇异矩阵时,使用消元法至少一行全零行,性质5 表明 , 根据性质6,det U = 0;
当矩阵为非奇异矩阵时,使用消元法得到满秩,性质5 表明 ,根据性质7得 ;
9 矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积,;使用该性质,有 ,;
1)构造 ;
2)当 A 为单位矩阵时,,满足性质1;
3)当交换矩阵 A 中任意两行,矩阵 AB 中对应两行也发送交换,d(A) 符号发生改变,满足性质2;
4)矩阵 A 中任意行线性变换,矩阵 AB 中对应行发生同样线性变换,d(A) 值发生同样线性变换,满足性质3;
5)综上,d(A) 满足性质1,2,3,故 ,;
10 矩阵转置后行列式不发生改变,;
1)假定在不需行变换下可对矩阵进行 LU 分解,;
2)利用性质9,;
3)由于矩阵 L 为三角矩阵,且对角元素均为1,;
4)由于矩阵 U 为三角矩阵,,因此,;
5)在矩阵 LU 分解时引入行变换,, 由于 ,故可忽略行变换影响;
行列式计算
1)以3*3矩阵为例,使用行列式线性特性,将矩阵第一行进行分解:
;
2)对分解后的三项对矩阵第二行再次分解:
,
,
;
3)对分解后的九项第三行再次分解:
,
......
4)通过以上分解,3*3 矩阵的行列式被分解为 个行列式的线性组合。在 27 个行列式中,有很大一部分值为 0,仅当各行元素不再同一列时,行列式值不为0。
通过交换矩阵行,所有矩阵可变为对角矩阵,故行列式值公式可表示为:
,
其中, 为 的全排列, 取决于在该排列下将矩阵变为对角矩阵的行变换次数的奇偶性,
当行变换次数为奇数时,;当行变换次数为偶数时, 。
参考资料 Linear Algebra And Its Applications Gilbert Strang
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