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行列式

时间:2020-07-14 18:17:10      阅读:100      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:行列式   发送   导致   cat   ber   使用   因此   次数   交换   

行列式使用如下性质定义

1 单位矩阵行列式值为 1,技术图片,对于任意单位矩阵均成立;

2 当矩阵交换一行后,行列式值改变符号,如置换矩阵的行列式值为 技术图片(根据行交换次数决定);

3 矩阵任意行线性变换导致行列式值产生线性变换:

   技术图片技术图片

使用以上三条基本性质,可以推导更多性质:

4 如果矩阵两行相等,行列式值为 0;

   利用性质2,交换两相等行,行列式值改变符号,故行列式值必须为 0;

5 对矩阵任意两行做如下运算:行2 = 行2 - k * 行1,新矩阵行列式值不发生改变,

   利用性质3,技术图片 ;通过该性质,可以知道矩阵消元法仅改变矩阵行列式值的符号,技术图片

 

6 如果矩阵中存在一行全为 0, 矩阵行列式值为 0;

   利用性质5,将全零行改写为任意非零行与全零行的和,得到两个全零行,故原矩阵行列式值为 0;

7 上三角矩阵或者下三角矩阵行列式值为对角元素之积,技术图片

  1)利用性质5,使用消元法可以对非零元素进行消元处理,最终形成对角矩阵,其对角元素保持不变,即 det U = det D;

  2)利用性质3,技术图片 ;

  3)利用性质1,由于 技术图片,则上三角矩阵行列式值为为对角元素之积;

8 如果矩阵为奇异矩阵,行列式值为 0;如果矩阵为非奇异矩阵,行列式值不为 0;

  当矩阵为奇异矩阵时,使用消元法至少一行全零行,性质5 表明 技术图片, 根据性质6,det U = 0;

  当矩阵为非奇异矩阵时,使用消元法得到满秩,性质5 表明 技术图片,根据性质7得 技术图片

9 矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积,技术图片;使用该性质,有 技术图片技术图片

   1)构造 技术图片

   2)当 A 为单位矩阵时,技术图片,满足性质1;

   3)当交换矩阵 A 中任意两行,矩阵 AB 中对应两行也发送交换,d(A) 符号发生改变,满足性质2;

   4)矩阵 A 中任意行线性变换,矩阵 AB 中对应行发生同样线性变换,d(A) 值发生同样线性变换,满足性质3;

   5)综上,d(A) 满足性质1,2,3,故 技术图片技术图片

10 矩阵转置后行列式不发生改变,技术图片

   1)假定在不需行变换下可对矩阵进行 LU 分解,技术图片

   2)利用性质9,技术图片

   3)由于矩阵 L 为三角矩阵,且对角元素均为1,技术图片

   4)由于矩阵 U 为三角矩阵,技术图片,因此,技术图片

   5)在矩阵 LU 分解时引入行变换,技术图片, 由于 技术图片,故可忽略行变换影响;

 

行列式计算

   1)以3*3矩阵为例,使用行列式线性特性,将矩阵第一行进行分解:

      技术图片

  2)对分解后的三项对矩阵第二行再次分解:

     技术图片

     技术图片

     技术图片

  3)对分解后的九项第三行再次分解:

     技术图片

     ...... 

  4)通过以上分解,3*3 矩阵的行列式被分解为 技术图片 个行列式的线性组合。在 27 个行列式中,有很大一部分值为 0,仅当各行元素不再同一列时,行列式值不为0。

       通过交换矩阵行,所有矩阵可变为对角矩阵,故行列式值公式可表示为:

      技术图片

     其中,技术图片 为 技术图片 的全排列,技术图片 取决于在该排列下将矩阵变为对角矩阵的行变换次数的奇偶性,

     当行变换次数为奇数时,技术图片;当行变换次数为偶数时,技术图片

 

 参考资料 Linear Algebra And Its Applications   Gilbert Strang

行列式

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原文地址:https://www.cnblogs.com/luofeiju/p/13299047.html

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