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51nod 1850 抽卡大赛(期望)

题目大意

51Nod为了活跃比赛前的气氛，组织了场抽卡比赛。这场比赛共 n个人参加，主办方根据非欧血统鉴定器，得到了一些数据。每个人抽卡有 Mi 种可能，得到的卡能力值为 Aij 代价为 Gij 的可能性为 Pij ，所谓代价指的是玩家需要将一轮比赛后所得的点头盾的 Gij% 交给主办方。每轮比赛每个人都随机抽取卡片，待全部人抽取完毕后进行排名（按照A从大到小排），排在第 i 位的人有 Vi 的点头盾收入。现在主办方想知道一轮比赛后每个人的期望收入。

数据范围

第一行一个正整数 n
接下来 n 个部分
每个部分第一行为正整数 Mi，接下来 Mi 行有三个整数 Aij Gij Pij
接下来一行 n 个整数，分别为 Vi
设 ∑Pij=Qi，则第 i 个人抽到第 j 张卡的概率为 Pij/Qi
1<=n,Mi<=200，1<=Aij<=1000000000，保证 Aij 互不相同，0<=Gij<=100，1<=Pij<=1000，1<=Vi<=1000

解题思路

没见过的思路

首先很好有一个 \(\Theta(n^4)\) 的做法，想知道第 i 个人的期望，假设他抽到的是第 j 个，能力值为 A，可以直接 \(\Theta(n^2)\) 的 dp 得出他排在第 k 名的概率

也有另一种表示方法 \(\prod p_ix+(1-p_i)\)，其中 \(p_i\) 表示第 i 个人的能力值比 \(A\) 大的概率

即使这样也还是暴力的，但我们发现枚举 i，j 的顺序不会有任何影响，所以我们将所有卡按能力值排序，从低到高枚举，不难发现每次只有一个二项式发生变化，也就是我们暴力除法在乘法即可，因为多项式只有两项，所以可以 \(\Theta(n)\) 的从一个转移到另一个

代码

const int P = 1e9+7;
const int N = 205;

ll fpw(ll x, ll mi) {
	ll res = 1;
	for (; mi; mi >>= 1, x = x * x % P)
		if (mi & 1) res = res * x % P;
	return res;
}

struct node {
	ll a, g, p, num;
	bool operator < (const node &i) const {
		return a < i.a;
	}
}a[N][N], all[N * N];
ll sum[N], m[N], cnt;
ll inv[N], f[N * N], g[N * N], Inv = fpw(100, P - 2);
ll v[N], p[N], ans[N], n;

void Mul(ll a, ll b) {
	for (int i = 0;i <= n; i++) g[i] = f[i] * b % P;
	for (int i = 0;i <= n; i++) g[i + 1] = (g[i + 1] + f[i] * a) % P;
	for (int i = 0;i <= n; i++) f[i] = g[i];
}

void Div(ll a, ll b) {
	ll Inv = fpw(a, P - 2);
	for (int i = n;i >= 0; i--) {
		ll k = f[i + 1] * Inv % P;
		g[i] = k, f[i] = (f[i] - b * k % P + P) % P; 
	}
	for (int i = 0;i <= n; i++) f[i] = g[i];
}

int main() {
	freopen ("hs.in","r",stdin);
//	freopen ("hs.out","w",stdout);
	read(n);
	for (int i = 1;i <= n; i++) {
		read(m[i]); p[i] = 0;
		for (int j = 1;j <= m[i]; j++) {
			read(a[i][j].a), read(a[i][j].g);
			read(a[i][j].p), a[i][j].num = i;
		}
		sort(a[i] + 1, a[i] + m[i] + 1);
		for (int j = 1;j <= m[i]; j++) 
			sum[i] = sum[i] + a[i][j].p;
		inv[i] = fpw(sum[i], P - 2);
		for (int j = 1;j <= m[i]; j++) {
			a[i][j].p = a[i][j].p * inv[i] % P;
			a[i][j].g = 100 - a[i][j].g;
			all[++cnt] = a[i][j]; 
		}
	}
	for (int i = 1;i <= n; i++) read(v[i]);
	sort(all + 1, all + cnt + 1);
	f[0] = 1;
	for (int i = 1;i <= n; i++) Mul(p[i] = 1, 0);
	for (int i = 1;i <= cnt; i++) {
		int k = all[i].num;
		Div(p[k], (1 - p[k] + P) % P);
		for (int j = 1;j <= n; j++)
			ans[k] = (ans[k] + all[i].g * Inv % P * v[j] % P * f[j-1] % P * all[i].p) % P;
		p[k] = (p[k] - all[i].p + P) % P;
		Mul(p[k], (1 - p[k] + P) % P);
	}
	for (int i = 1;i <= n; i++) write(ans[i]);
	return 0;
}

51nod 1850 抽卡大赛(期望)

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原文地址：https://www.cnblogs.com/Hs-black/p/13320691.html