标签：存在 stdin == ++ point names algo highlight set
这道题的题意不太明确.
应该是两个序列 $a,b$ 不同，当且仅当存在位置 $i$ 使得 $a[i]$ 不等于 $b[i]$.
朴素的 DP 非常好列：$f[i][j]$ 表示选了 $i$ 个数，且值域为 $[1,j]$ 的总价值和.
那么有 $f[i][j]=f[i-1][j-1] \times j+f[i][j-1]$，直接算的话复杂度是 $O(nD)$ 的.
但是我们可以猜测这是一个关于 $j$ 的 $g_{i}$ 次多项式.
有一个结论：对于 $n$ 次多项式 $h(x)$，满足 $h(x)-h(x-1)$ 是 $n-1$ 次多项式.
那么有 $f[i][j]-f[i][j-1]=f[i-1][j-1]\times j$.
将 $g$ 带入，有 $g_{i}-1=g_{i-1}+1$.
即 $g_{i}=g_{i-1}+2$，说明这是一个关于 $j$ 的 $2 \times i$ 次多项式.
那么我们就求出 $f[n][1...2n+1]$ 后将值带入，然后拉格朗日插值来插一下就行了.
code:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 2002
#define ll long long
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std;
int D,n,mod,tot,f[N][N],fac[N];
void init() {
fac[0]=1;
for(int i=1;i<N;++i) {
fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
}
}
struct point {
int x,y;
point(int x=0,int y=0):x(x),y(y){}
}a[N];
int qpow(int x,int y) {
int tmp=1;
for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)
if(y&1) tmp=(ll)tmp*x%mod;
return tmp;
}
int get_inv(int x) {
return qpow(x,mod-2);
}
int calc() {
int ans=0;
for(int i=1;i<=tot;++i) {
int inv=1,up=1;
for(int j=1;j<=tot;++j) {
if(i==j) continue;
up=(ll)up*(D-a[j].x+mod)%mod;
inv=(ll)inv*(a[i].x-a[j].x+mod)%mod;
}
inv=get_inv(inv);
(ans+=(ll)a[i].y*up%mod*inv%mod)%=mod;
}
return ans;
}
int main() {
// setIO("input");
scanf("%d%d%d",&D,&n,&mod);
init();
for(int i=0;i<=2*n+1;++i) f[0][i]=1;
for(int i=1;i<=n;++i) {
for(int j=1;j<=2*n+1;++j) {
f[i][j]=(ll)(f[i][j-1]+(ll)f[i-1][j-1]*j%mod)%mod;
}
}
for(int i=1;i<=2*n+1;++i) {
a[++tot]=point(i,f[n][i]);
}
printf("%d\n",(ll)calc()*fac[n]%mod);
return 0;
}
LuoguP4463 [集训队互测2012] calc DP+拉格朗日插值
标签：存在 stdin == ++ point names algo highlight set
原文地址：https://www.cnblogs.com/guangheli/p/13341064.html
