标签：如何 ide htm class void div 表达 ++ 直接
快速傅里叶变换，简称FFT，是一种可以O(nlogn)的时间内计算n次多项式乘法的算法。
写得很好的博客：自为风月马前卒大佬的博客。
大致步骤是：
1.先将两个多项式的系数表达法O(nlogn)都转化成点值表达法。
例如：y=A0+A1*x+A2*x2+A3*x3+...+An*xn可以转化为n+1个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),...,(xn,yn),(xn+1,yn+1)。
这n+1个点也能确定这个多项式，就像两点确定一条直线，三点确定一条抛物线一样。
同理第二个多项式也转化为n+1个点，这n+1个点的x要与第一个多项式的点的x分别相等。
2.x相同的点所对应的y可以O(n)直接相乘，达到多项式相乘的效果。
3.再将点值表达法转化为系数表达法就行了。
然后发现暴力转化的话时间是O(n2)，那么如何优化呢，这里就要牵扯到复数的概念和性质了，前面的博客里写的非常好，我就不再赘述了其实就是懒。
下面是递归版的代码和非递归版的代码：（递归版的时间又长空间又大好像没什么用，但应该可以帮助理解吧w）
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=4e6+1e5; const double pai=acos(-1.0); double Co[N],Si[N]; struct Complex{ double x,y; Complex(double xx=0,double yy=0){ x=xx; y=yy; } }A[N],B[N]; Complex operator+(Complex X,Complex Y) { return Complex(X.x+Y.x,X.y+Y.y); } Complex operator-(Complex X,Complex Y) { return Complex(X.x-Y.x,X.y-Y.y); } Complex operator*(Complex X,Complex Y) { return Complex(X.x*Y.x-X.y*Y.y,X.x*Y.y+X.y*Y.x); } int rd(){ int s=0,ff=1; char w=getchar(); while(!isdigit(w)) ff^=w==‘-‘,w=getchar(); while(isdigit(w)) s=s*10+w-‘0‘,w=getchar(); return ff?s:-s; } void FFt(int n,Complex *a,int Opt){ if(n==1) return ; Complex c[n>>1],d[n>>1],k; for(int i=0;i<n;i+=2)//注意这里没有等于号 c[i>>1]=a[i],d[i>>1]=a[i+1]; FFt(n>>1,c,Opt); FFt(n>>1,d,Opt); Complex w=Complex(Co[n],Opt*Si[n]),x=Complex(1,0); n>>=1; for(int i=0;i<n;i++,x=x*w) k=x*d[i],a[i]=c[i]+k,a[i+n]=c[i]-k; } int main(){ int n=1,N,M; N=rd(); M=rd(); while(n<=N+M) n<<=1; for(int i=1;i<=n;i++) Co[i]=cos(2.0*pai/i),Si[i]=sin(2.0*pai/i); for(int i=0;i<=N;i++) A[i].x=rd(); for(int i=0;i<=M;i++) B[i].x=rd(); FFt(n,A,1); FFt(n,B,1); for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=A[i]*B[i]; FFt(n,A,-1); for(int i=0;i<=N+M;i++) printf("%d ",(int)(A[i].x/n+0.5)); return 0; }
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=4e6+1e5; const double pai=acos(-1.0); int r[N]; double Co[N],Si[N]; struct Complex{ double x,y; Complex(double xx=0,double yy=0){ x=xx; y=yy; } }A[N],B[N]; Complex operator+(Complex X,Complex Y) { return Complex(X.x+Y.x,X.y+Y.y); } Complex operator-(Complex X,Complex Y) { return Complex(X.x-Y.x,X.y-Y.y); } Complex operator*(Complex X,Complex Y) { return Complex(X.x*Y.x-X.y*Y.y,X.x*Y.y+X.y*Y.x); } int rd(){ int s=0,ff=1; char w=getchar(); while(!isdigit(w)) ff^=w==‘-‘,w=getchar(); while(isdigit(w)) s=s*10+w-‘0‘,w=getchar(); return ff?s:-s; } void FFt(int n,Complex *a,int Opt){ Complex x,w,X,Y; for(int i=0;i<n;i++) //注意无等于号 if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]); for(int mid=1;mid<n;mid<<=1){ for(int l=0,j=(mid<<1);l<n;l+=j){ w=Complex(Co[mid<<1],Opt*Si[mid<<1]); x=Complex(1,0); for(int i=l;i<l+mid;i++,x=x*w){ X=a[i],Y=x*a[i+mid]; a[i]=X+Y,a[i+mid]=X-Y; } } } } int main(){ int n=1,N,M,l=0; N=rd(); M=rd(); while(n<=N+M) n<<=1,l++; for(int i=1;i<n;i++) r[i]=((r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1))); for(int i=1;i<=n;i++) Co[i]=cos(2.0*pai/i),Si[i]=sin(2.0*pai/i); for(int i=0;i<=N;i++) A[i].x=rd(); for(int i=0;i<=M;i++) B[i].x=rd(); FFt(n,A,1); FFt(n,B,1); for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=A[i]*B[i]; FFt(n,A,-1); for(int i=0;i<=N+M;i++) printf("%d ",(int)(A[i].x/n+0.5)); return 0; }
标签：如何 ide htm class void div 表达 ++ 直接
原文地址：https://www.cnblogs.com/manmanjiangQwQ/p/13341647.html
