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谱聚类（spectral clustering）是广泛使用的聚类算法，比起传统的K-Means算法，谱聚类对数据分布的适应性更强，聚类效果也很优秀，同时聚类的计算量也小很多，更加难能可贵的是实现起来也不复杂。在处理实际的聚类问题时，个人认为谱聚类是应该首先考虑的几种算法之一。下面我们就对谱聚类的算法原理做一个总结。
谱聚类是从图论中演化出来的算法，后来在聚类中得到了广泛的应用。它的主要思想是把所有的数据看做空间中的点，这些点之间可以用边连接起来。距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的边权重值较高，通过对所有数据点组成的图进行切图，让切图后不同的子图间边权重和尽可能的低，而子图内的边权重和尽可能的高，从而达到聚类的目的。
乍一看，这个算法原理的确简单，但是要完全理解这个算法的话，需要对图论中的无向图，线性代数和矩阵分析都有一定的了解。下面我们就从这些需要的基础知识开始，一步步学习谱聚类。
由于谱聚类是基于图论的，因此我们首先温习下图的概念。对于一个图$G$，我们一般用点的集合$V$和边的集合$E$来描述。即为$G(V,E)$。其中$V$即为我们数据集里面所有的点$(v_1, v_2,...v_n)$。对于$V$中的任意两个点，可以有边连接，也可以没有边连接。我们定义权重$w_{ij}$为点$v_i$和点$v_j$之间的权重。由于我们是无向图，所以$w_{ij} = w_{ji}$。
对于有边连接的两个点$v_i$和$v_j$，$w_{ij} > 0$,对于没有边连接的两个点$v_i$和$v_j$，$w_{ij} = 0$。对于图中的任意一个点$v_i$，它的度$d_i$定义为和它相连的所有边的权重之和，即$$d_i = \sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}$$
利用每个点度的定义，我们可以得到一个nxn的度矩阵$D$,它是一个对角矩阵，只有主对角线有值，对应第i行的第i个点的度数，定义如下：
$$\mathbf{D} =
\left( \begin{array}{ccc}
d_1 & \ldots & \ldots \\
\ldots & d_2 & \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots \\
\ldots & \ldots & d_n \end{array} \right)$$
利用所有点之间的权重值，我们可以得到图的邻接矩阵$W$，它也是一个nxn的矩阵，第i行的第j个值对应我们的权重$w_{ij}$。
除此之外，对于点集$V$的的一个子集$A \subset V$，我们定义：$$|A|: = 子集A中点的个数$$ $$vol(A): = \sum\limits_{i \in A}d_i$$
在上一节我们讲到了邻接矩阵$W$，它是由任意两点之间的权重值$w_{ij}$组成的矩阵。通常我们可以自己输入权重，但是在谱聚类中，我们只有数据点的定义，并没有直接给出这个邻接矩阵，那么怎么得到这个邻接矩阵呢？
基本思想是，距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的边权重值较高，不过这仅仅是定性，我们需要定量的权重值。一般来说，我们可以通过样本点距离度量的相似矩阵$S$来获得邻接矩阵$W$。
构建邻接矩阵$W$的方法有三类。$\epsilon$-邻近法，K邻近法和全连接法。
对于$\epsilon$-邻近法，它设置了一个距离阈值$\epsilon$，然后用欧式距离$s_{ij}$度量任意两点$x_i$和$x_j$的距离。即相似矩阵的$s_{ij} = ||x_i-x_j||_2^2$, 然后根据$s_{ij}$和$\epsilon$的大小关系，来定义邻接矩阵$W$如下：
$$w_{ij}=
\begin{cases}
0& {s_{ij} > \epsilon}\\
\epsilon& {{s_{ij} \leq \epsilon}}
\end{cases}$$
从上式可见，两点间的权重要不就是$\epsilon$,要不就是0，没有其他的信息了。距离远近度量很不精确，因此在实际应用中，我们很少使用$\epsilon$-邻近法。
第二种定义邻接矩阵$W$的方法是K邻近法，利用KNN算法遍历所有的样本点，取每个样本最近的k个点作为近邻，只有和样本距离最近的k个点之间的$w_{ij} > 0$。但是这种方法会造成重构之后的邻接矩阵W非对称，我们后面的算法需要对称邻接矩阵。为了解决这种问题，一般采取下面两种方法之一：
第一种K邻近法是只要一个点在另一个点的K近邻中，则保留$s_{ij}$
$$w_{ij}=w_{ji}=
\begin{cases}
0& {x_i \notin KNN(x_j) \;and \;x_j \notin KNN(x_i)}\\
exp(-\frac{||x_i-x_j||_2^2}{2\sigma^2})& {x_i \in KNN(x_j)\; or\; x_j \in KNN(x_i})
\end{cases}$$
第二种K邻近法是必须两个点互为K近邻中，才能保留$s_{ij}$
$$w_{ij}=w_{ji}=
\begin{cases}
0& {x_i \notin KNN(x_j) \;or\;x_j \notin KNN(x_i)}\\
exp(-\frac{||x_i-x_j||_2^2}{2\sigma^2})& {x_i \in KNN(x_j)\; and \; x_j \in KNN(x_i})
\end{cases}$$
第三种定义邻接矩阵$W$的方法是全连接法，相比前两种方法，第三种方法所有的点之间的权重值都大于0，因此称之为全连接法。可以选择不同的核函数来定义边权重，常用的有多项式核函数，高斯核函数和Sigmoid核函数。最常用的是高斯核函数RBF，此时相似矩阵和邻接矩阵相同：$$w_{ij}=s_{ij}=exp(-\frac{||x_i-x_j||_2^2}{2\sigma^2})$$
在实际的应用中，使用第三种全连接法来建立邻接矩阵是最普遍的，而在全连接法中使用高斯径向核RBF是最普遍的。
单独把拉普拉斯矩阵(Graph Laplacians)拿出来介绍是因为后面的算法和这个矩阵的性质息息相关。它的定义很简单，拉普拉斯矩阵$L= D-W$。$D$即为我们第二节讲的度矩阵，它是一个对角矩阵。而$W$即为我们第二节讲的邻接矩阵，它可以由我们第三节的方法构建出。
拉普拉斯矩阵有一些很好的性质如下：
1）拉普拉斯矩阵是对称矩阵，这可以由$D$和$W$都是对称矩阵而得。
2）由于拉普拉斯矩阵是对称矩阵，则它的所有的特征值都是实数。
3）对于任意的向量$f$,我们有$$f^TLf = \frac{1}{2}\sum\limits_{i,j=1}^{n}w_{ij}(f_i-f_j)^2$$
这个利用拉普拉斯矩阵的定义很容易得到如下：
$$f^TLf = f^TDf - f^TWf = \sum\limits_{i=1}^{n}d_if_i^2 - \sum\limits_{i,j=1}^{n}w_{ij}f_if_j$$ $$=\frac{1}{2}( \sum\limits_{i=1}^{n}d_if_i^2 - 2 \sum\limits_{i,j=1}^{n}w_{ij}f_if_j + \sum\limits_{j=1}^{n}d_jf_j^2) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i,j=1}^{n}w_{ij}(f_i-f_j)^2 $$
4) 拉普拉斯矩阵是半正定的，且对应的n个实数特征值都大于等于0，即$0 =\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq... \leq \lambda_n$， 且最小的特征值为0，这个由性质3很容易得出。
对于无向图$G$的切图，我们的目标是将图$G(V,E)$切成相互没有连接的k个子图，每个子图点的集合为：$A_1,A_2,..A_k$，它们满足$A_i \cap A_j = \emptyset$,且$A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k = V$.
对于任意两个子图点的集合$A, B \subset V$, $A \cap B = \emptyset$, 我们定义A和B之间的切图权重为：$$W(A, B) = \sum\limits_{i \in A, j \in B}w_{ij}$$
那么对于我们k个子图点的集合：$A_1,A_2,..A_k$，我们定义切图cut为：$$cut(A_1,A_2,...A_k) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{k}W(A_i, \overline{A}_i )$$
其中$\overline{A}_i $为$A_i$的补集，意为除$A_i$子集外其他V的子集的并集。
那么如何切图可以让子图内的点权重和高，子图间的点权重和低呢？一个自然的想法就是最小化$cut(A_1,A_2,...A_k)$, 但是可以发现，这种极小化的切图存在问题，如下图：
我们选择一个权重最小的边缘的点，比如C和H之间进行cut，这样可以最小化$cut(A_1,A_2,...A_k)$, 但是却不是最优的切图，如何避免这种切图，并且找到类似图中"Best Cut"这样的最优切图呢？我们下一节就来看看谱聚类使用的切图方法。
为了避免最小切图导致的切图效果不佳，我们需要对每个子图的规模做出限定，一般来说，有两种切图方式，第一种是RatioCut，第二种是Ncut。下面我们分别加以介绍。
RatioCut切图为了避免第五节的最小切图，对每个切图，不光考虑最小化$cut(A_1,A_2,...A_k)$，它还同时考虑最大化每个子图点的个数，即：$$RatioCut(A_1,A_2,...A_k) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{W(A_i, \overline{A}_i )}{|A_i|}$$
那么怎么最小化这个RatioCut函数呢？牛人们发现，RatioCut函数可以通过如下方式表示。
我们引入指示向量$h_j \in \{h_1, h_2,..h_k\}\; j =1,2,...k$,对于任意一个向量$h_j$, 它是一个n维向量（n为样本数），我们定义$h_{ij}$为：
$$h_{ij}=
\begin{cases}
0& { v_i \notin A_j}\\
\frac{1}{\sqrt{|A_j|}}& { v_i \in A_j}
\end{cases}$$
那么我们对于$h_i^TLh_i$,有：
$$ \begin{align} h_i^TLh_i & = \frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}\sum\limits_{n=1}w_{mn}(h_{im}-h_{in})^2 \\& =\frac{1}{2}(\sum\limits_{m \in A_i, n \notin A_i}w_{mn}(\frac{1}{\sqrt{|A_i|}} - 0)^2 + \sum\limits_{m \notin A_i, n \in A_i}w_{mn}(0 - \frac{1}{\sqrt{|A_i|}} )^2\\& = \frac{1}{2}(\sum\limits_{m \in A_i, n \notin A_i}w_{mn}\frac{1}{|A_i|} + \sum\limits_{m \notin A_i, n \in A_i}w_{mn}\frac{1}{|A_i|}\\& = \frac{1}{2}(cut(A_i, \overline{A}_i) \frac{1}{|A_i|} + cut(\overline{A}_i, A_i) \frac{1}{|A_i|}) \\& = \frac{cut(A_i, \overline{A}_i)}{|A_i|} \end{align}$$
上述第（1）式用了上面第四节的拉普拉斯矩阵的性质3. 第二式用到了指示向量的定义。可以看出，对于某一个子图i，它的RatioCut对应于$h_i^TLh_i$,那么我们的k个子图呢？对应的RatioCut函数表达式为：$$RatioCut(A_1,A_2,...A_k) = \sum\limits_{i=1}^{k}h_i^TLh_i = \sum\limits_{i=1}^{k}(H^TLH)_{ii} = tr(H^TLH)$$
其中$tr(H^TLH)$为矩阵的迹。也就是说，我们的RatioCut切图，实际上就是最小化我们的$tr(H^TLH)$。注意到$H^TH=I$,则我们的切图优化目标为:$$\underbrace{arg\;min}_H\; tr(H^TLH) \;\; s.t.\;H^TH=I $$
注意到我们H矩阵里面的每一个指示向量都是n维的，向量中每个变量的取值为0或者$\frac{1}{\sqrt{|A_j|}}$，就有$2^n$种取值，有k个子图的话就有k个指示向量，共有$k2^n$种H，因此找到满足上面优化目标的H是一个NP难的问题。那么是不是就没有办法了呢？
注意观察$tr(H^TLH)$中每一个优化子目标$h_i^TLh_i$,其中$h$是单位正交基， L为对称矩阵，此时$h_i^TLh_i$的最大值为L的最大特征值，最小值是L的最小特征值。如果你对主成分分析PCA很熟悉的话，这里很好理解。在PCA中，我们的目标是找到协方差矩阵（对应此处的拉普拉斯矩阵L）的最大的特征值，而在我们的谱聚类中，我们的目标是找到目标的最小的特征值，得到对应的特征向量，此时对应二分切图效果最佳。也就是说，我们这里要用到维度规约的思想来近似去解决这个NP难的问题。
对于$h_i^TLh_i$，我们的目标是找到最小的L的特征值，而对于$tr(H^TLH) = \sum\limits_{i=1}^{k}h_i^TLh_i$，则我们的目标就是找到k个最小的特征值，一般来说，k远远小于n，也就是说，此时我们进行了维度规约，将维度从n降到了k，从而近似可以解决这个NP难的问题。
通过找到L的最小的k个特征值，可以得到对应的k个特征向量，这k个特征向量组成一个nxk维度的矩阵，即为我们的H。一般需要对H矩阵按行做标准化，即$$h_{ij}^{*}= \frac{h_{ij}}{(\sum\limits_{t=1}^kh_{it}^{2})^{1/2}}$$
由于我们在使用维度规约的时候损失了少量信息，导致得到的优化后的指示向量h对应的H现在不能完全指示各样本的归属，因此一般在得到nxk维度的矩阵H后还需要对每一行进行一次传统的聚类，比如使用K-Means聚类.
Ncut切图和RatioCut切图很类似，但是把Ratiocut的分母$|Ai|$换成$vol(A_i)$. 由于子图样本的个数多并不一定权重就大，我们切图时基于权重也更合我们的目标，因此一般来说Ncut切图优于RatioCut切图。$$NCut(A_1,A_2,...A_k) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{W(A_i, \overline{A}_i )}{vol(A_i)}$$
，对应的，Ncut切图对指示向量$h$做了改进。注意到RatioCut切图的指示向量使用的是$\frac{1}{\sqrt{|A_j|}}$标示样本归属，而Ncut切图使用了子图权重$\frac{1}{\sqrt{vol(A_j)}}$来标示指示向量h，定义如下:
$$h_{ij}=
\begin{cases}
0& { v_i \notin A_j}\\
\frac{1}{\sqrt{vol(A_j)}}& { v_i \in A_j}
\end{cases}$$
那么我们对于$h_i^TLh_i$,有：
$$ \begin{align} h_i^TLh_i & = \frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}\sum\limits_{n=1}w_{mn}(h_{im}-h_{in})^2 \\& =\frac{1}{2}(\sum\limits_{m \in A_i, n \notin A_i}w_{mn}(\frac{1}{\sqrt{vol(A_i)}} - 0)^2 + \sum\limits_{m \notin A_i, n \in A_i}w_{mn}(0 - \frac{1}{\sqrt{vol(A_i)}} )^2\\& = \frac{1}{2}(\sum\limits_{m \in A_i, n \notin A_i}w_{mn}\frac{1}{vol(A_i)} + \sum\limits_{m \notin A_i, n \in A_i}w_{mn}\frac{1}{vol(A_i)}\\& = \frac{1}{2}(cut(A_i, \overline{A}_i) \frac{1}{vol(A_i)} + cut(\overline{A}_i, A_i) \frac{1}{vol(A_i)}) \\& = \frac{cut(A_i, \overline{A}_i)}{vol(A_i)} \end{align}$$
推导方式和RatioCut完全一致。也就是说，我们的优化目标仍然是$$NCut(A_1,A_2,...A_k) = \sum\limits_{i=1}^{k}h_i^TLh_i = \sum\limits_{i=1}^{k}(H^TLH)_{ii} = tr(H^TLH)$$
但是此时我们的$H^TH \neq I$,而是$H^TDH = I$。推导如下：$$ h_i^TDh_i = \sum\limits_{j=1}^{n}h_{ij}^2d_j =\frac{1}{vol(A_i)}\sum\limits_{j \in A_i}d_j= \frac{1}{vol(A_i)}vol(A_i) =1$$
也就是说，此时我们的优化目标最终为：$$\underbrace{arg\;min}_H\; tr(H^TLH) \;\; s.t.\;H^TDH=I $$
此时我们的H中的指示向量$h$并不是标准正交基，所以在RatioCut里面的降维思想不能直接用。怎么办呢？其实只需要将指示向量矩阵H做一个小小的转化即可。
我们令$H = D^{-1/2}F$, 则：$H^TLH = F^TD^{-1/2}LD^{-1/2}F$，$H^TDH=F^TF = I$,也就是说优化目标变成了: $$\underbrace{arg\;min}_F\; tr(F^TD^{-1/2}LD^{-1/2}F) \;\; s.t.\;F^TF=I $$
可以发现这个式子和RatioCut基本一致，只是中间的L变成了$D^{-1/2}LD^{-1/2}$。这样我们就可以继续按照RatioCut的思想，求出$D^{-1/2}LD^{-1/2}$的最小的前k个特征值，然后求出对应的特征向量，并标准化，得到最后的特征矩阵$F$,最后对$F$进行一次传统的聚类（比如K-Means）即可。
一般来说， $D^{-1/2}LD^{-1/2}$相当于对拉普拉斯矩阵$L$做了一次标准化，即$\frac{L_{ij}}{\sqrt{d_i*d_j}}$
铺垫了这么久，终于可以总结下谱聚类的基本流程了。一般来说，谱聚类主要的注意点为相似矩阵的生成方式（参见第二节），切图的方式（参见第六节）以及最后的聚类方法（参见第六节）。
最常用的相似矩阵的生成方式是基于高斯核距离的全连接方式，最常用的切图方式是Ncut。而到最后常用的聚类方法为K-Means。下面以Ncut总结谱聚类算法流程。
输入：样本集D=$(x_1,x_2,...,x_n)$，相似矩阵的生成方式, 降维后的维度$k_1$, 聚类方法，聚类后的维度$k_2$
输出： 簇划分$C(c_1,c_2,...c_{k_2})$.
1) 根据输入的相似矩阵的生成方式构建样本的相似矩阵S
2）根据相似矩阵S构建邻接矩阵W，构建度矩阵D
3）计算出拉普拉斯矩阵L
4）构建标准化后的拉普拉斯矩阵$D^{-1/2}LD^{-1/2}$
5）计算$D^{-1/2}LD^{-1/2}$最小的$k_1$个特征值所各自对应的特征向量$f$
6) 将各自对应的特征向量$f$组成的矩阵按行标准化，最终组成$n \times k_1$维的特征矩阵F
7）对F中的每一行作为一个$k_1$维的样本，共n个样本，用输入的聚类方法进行聚类，聚类维数为$k_2$。
8）得到簇划分$C(c_1,c_2,...c_{k_2})$.
谱聚类算法是一个使用起来简单，但是讲清楚却不是那么容易的算法，它需要你有一定的数学基础。如果你掌握了谱聚类，相信你会对矩阵分析，图论有更深入的理解。同时对降维里的主成分分析也会加深理解。
下面总结下谱聚类算法的优缺点。
谱聚类算法的主要优点有：
1）谱聚类只需要数据之间的相似度矩阵，因此对于处理稀疏数据的聚类很有效。这点传统聚类算法比如K-Means很难做到
2）由于使用了降维，因此在处理高维数据聚类时的复杂度比传统聚类算法好。
谱聚类算法的主要缺点有：
1）如果最终聚类的维度非常高，则由于降维的幅度不够，谱聚类的运行速度和最后的聚类效果均不好。
2) 聚类效果依赖于相似矩阵，不同的相似矩阵得到的最终聚类效果可能很不同。
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