标签：vector ring pen wap freopen code get mes names
比较神仙的推导.
求 $\sum_{n=0}^{ \infty }f(n)r^n$，其中 $f(x)$ 是一个 $m$ 次多项式，$0\leqslant r \leqslant 1$
显然可以 $f(x)$ 每一个系数的贡献，那么就转化为：
$(1-r)f_{j}=\sum_{j=0}^{m} a_{j} \sum_{n=0}^{\infty} n^jr^n.$
令 $s_{j}=\sum_{n=0}^{\infty} n^jr^n$.
$(1-r)f_{j}=\sum_{n=0}^{\infty} n^jr^n-n^jr^{n+1}$
$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} [n^j-(n-1)^j] r^n$
$\Rightarrow r\sum_{n=0}^{\infty} [(n+1)^j-n^j]r^n$
二项式展开，得 $r\sum_{i=0}^{j-1}\binom{j}{i}\sum_{n=0}^{\infty}n^ir^n$
然后就可以写成分治 NTT 的形式了：
$\frac{f_{j}}{j!}=\sum_{i=0}^{j-1} \frac{f_{i}}{i!} \frac{r}{(j-i)!(1-r)}$
其中 $f_{0}=\frac{1}{1-r}$
code:
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100009
#define ll long long
#define mod 998244353
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std;
int m,V;
int inv[N],fac[N];
int A[N<<2],B[N<<2],f[N],g[N],seq[N];
int qpow(int x,int y) {
int tmp=1;
for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod) {
if(y&1) tmp=(ll)tmp*x%mod;
}
return tmp;
}
int get_inv(int x) {
return qpow(x,mod-2);
}
void NTT(int *a,int len,int op) {
for(int i=0,k=0;i<len;++i) {
if(i>k) swap(a[i],a[k]);
for(int j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1);
}
for(int l=1;l<len;l<<=1) {
int wn=qpow(3,(mod-1)/(l<<1));
if(op==-1) {
wn=get_inv(wn);
}
for(int i=0;i<len;i+=l<<1) {
int w=1,x,y;
for(int j=0;j<l;++j) {
x=a[i+j],y=(ll)a[i+j+l]*w%mod;
a[i+j]=(ll)(x+y)%mod;
a[i+j+l]=(ll)(x-y+mod)%mod;
w=(ll)w*wn%mod;
}
}
}
if(op==-1) {
int in=get_inv(len);
for(int i=0;i<len;++i) {
a[i]=(ll)a[i]*in%mod;
}
}
}
void init() {
fac[0]=1,inv[1]=1;
for(int i=1;i<N;++i) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
for(int i=2;i<N;++i) {
inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}
inv[0]=1;
for(int i=1;i<N;++i) {
inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
}
}
void solve(int l,int r) {
if(l==r) {
return;
}
int mid=(l+r)>>1,lim,s1=0,s2=0;
solve(l,mid);
for(int i=l;i<=mid;++i) A[s1++]=f[i];
for(int i=0;i<=r-l;++i) B[s2++]=g[i];
for(lim=1;lim<(s1+s1);lim<<=1);
for(int i=s1;i<lim;++i) A[i]=0;
for(int i=s2;i<lim;++i) B[i]=0;
NTT(A,lim,1),NTT(B,lim,1);
for(int i=0;i<lim;++i) A[i]=(ll)A[i]*B[i]%mod;
NTT(A,lim,-1);
for(int i=mid+1;i<=r;++i) {
(f[i]+=A[i-l])%=mod;
}
for(int i=0;i<lim;++i) A[i]=B[i]=0;
solve(mid+1,r);
}
int main() {
// setIO("input");
init();
scanf("%d%d",&m,&V);
for(int i=0;i<=m;++i) {
scanf("%d",&seq[i]);
}
f[0]=get_inv((ll)(1-V+mod)%mod);
int in=(ll)V*f[0]%mod;
for(int i=1;i<=m;++i) {
g[i]=(ll)inv[i]*in%mod;
}
solve(0,m);
for(int i=1;i<=m;++i) {
f[i]=(ll)f[i]*fac[i]%mod;
}
int ans=0;
for(int i=0;i<=m;++i) {
(ans+=(ll)seq[i]*f[i]%mod)%=mod;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
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原文地址：https://www.cnblogs.com/guangheli/p/13355337.html
