标签：一个 stdout std node print isp tps scanf 条件
四边形不等式：
考虑形如$dp(i,j)=min\{dp(i,k)+dp(k,j)+w(i,j)\}$的dp。（若为max则把下文大小关系取反即可）
定义：若二元函数w满足$\forall a<b\leq c<d,w(a,c)+w(b,d)\leq w(b,c)+w(a,d)$，则称其满足四边形不等式。
几何意义：
以x为编号，y为自变量，$w(x,y)$为因变量，把n个$w(x)$的图像画到一个坐标系里。
再令$g(x,y)=w(x,y)-w(x-1,y)$，则只要$\forall x,g(x)$关于y递减即可。
推论1：若$w(i,j)$满足四边形不等式且$\forall a<b\leq c<d,w(b,c)\leq w(a,d)$（包含单调），则二元函数$dp(i,j)$也满足四边形不等式。
推论2：定义$k(i,j)$为使$dp(i,j)$取到最值的k，则在满足引理1的条件下，有$k(i,j-1)\leq k(i,j)\leq k(i+1,j)$。
两推论证明：见https://www.cnblogs.com/a1b3c7d9/p/10984353.html。
应用：显然用引理2可以将需要$O(n^{3})$枚举k的问题变成$O(n^{2})$的。
决策单调性：
考虑形如$dp(i)=min\{dp(j)+w(j,i)\}$的dp。（max类似）
定义：一个dp满足决策单调性的充要条件是：对于两个决策点$x<y$，若在i处y优于x，则在$[i+1,n]$处y都优于x。
引理：若w满足四边形不等式，则dp满足决策单调性。
证明：
令$x<y<i<j$，其中y为i的最优决策点，则有$dp(y)+w(y,i)\leq dp(x)+w(x,i)$。
由四边形不等式，有$w(x,i)+w(y,j)\leq w(y,i)+w(x,j)$。
两式相加，消去相同项，有$dp(y)+w(y,j)\leq dp(x)+w(x,j)$，于是y在j处也优于x。
应用：
用单调队列/单调栈维护决策点即可将$O(n^{2})$的dp优化成$O(n\log{n})$的。
斜率优化其实是满足决策单调性的一个特殊形式，但斜率优化可以做决策点不一定单调的情况（在凸包上二分找点即可）。
代码（NOI2009诗人小G）：
#include<bits/stdc++.h> #define maxn 100005 #define maxm 35 #define inf 0x7fffffff #define ll long double #define rint register int #define debug(x) cerr<<#x<<": "<<x<<endl #define fgx cerr<<"--------------"<<endl #define dgx cerr<<"=============="<<endl using namespace std; int n,L,p,G[maxn]; ll S[maxn],F[maxn]; char str[maxn][maxm]; struct node{int id,l,r;}Q[maxn]; inline int read(){ int x=0,f=1; char c=getchar(); for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c==‘-‘) f=-1; for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-‘0‘; return x*f; } inline ll pw(ll a,int b){ll r=1;while(b)r=(b&1)?r*a:r,a=a*a,b>>=1;return r;} inline ll getf(int a,int b){return F[b]+pw(abs(S[a]-S[b]+a-b-1-L),p);} inline void print(int r){ if(!r) return; int l=G[r]; print(l); for(int i=l+1;i<=r;i++){ if(i>l+1) printf(" "); int m=strlen(str[i]+1); for(int j=1;j<=m;j++) printf("%c",str[i][j]); } printf("\n"); } int main(){ //freopen("P1912_1.in","r",stdin); //freopen("1.out","w",stdout); int T=read(); while(T--){ n=read(),L=read(),p=read(); for(rint i=1;i<=n;i++) scanf("%s",str[i]+1),S[i]=strlen(str[i]+1)+S[i-1]; int l=1,r=1; F[0]=0,Q[1]=(node){0,1,n}; for(rint i=1;i<=n;i++){ while(l<r){if(Q[l].r<i)l++;else break;} F[i]=getf(i,Q[l].id),G[i]=Q[l].id; while(l<=r){ if(getf(Q[r].l,Q[r].id)>getf(Q[r].l,i)) r--; else{ //cout<<r<<endl; int l1=Q[r].l,r1=Q[r].r,ans=0; while(l1<=r1){ int mid=l1+r1>>1; if(getf(mid,Q[r].id)>getf(mid,i)) ans=mid,r1=mid-1; else l1=mid+1; } if(ans) Q[r].r=ans-1,Q[++r]=(node){i,ans,n}; else if(Q[r].r<n){int tp=Q[r].r+1; Q[++r]=(node){i,tp,n};} break; } }/* for(int k=l;k<=r;k++){ cout<<Q[k].id<<" "<<Q[k].l<<" "<<Q[k].r<<endl; } cout<<endl;*/ } if(F[n]>1e18) printf("Too hard to arrange\n"); else printf("%.0Lf\n",F[n]),print(n); printf("--------------------\n"); } return 0; } /* 1 4 9 2 brysj, hhrhl. yqqlm, gsycl. */
标签：一个 stdout std node print isp tps scanf 条件
原文地址：https://www.cnblogs.com/YSFAC/p/13363203.html
