标签：大小 mini 递增 lock 取值 类型 乘法 double 动态
\(\mathrm{dp}\)的时候决策集合只扩大不减小，直接把最大值\(/\)最小值\(/\)累加和记下来就好了.
例如：\(\mathrm{LCIS\ CH5101}\)，\(f_{i,j}=\max\limits_{0\leq k<j,B_k<A_i}\{f_{i-1,k}\}+1\).
外层\(i\)不变，随着\(j\)增大，每次决策\(k\)最多增加一个，判断一下是否合法记下来即可.
\(\mathrm{dp}\)的时候决策区间上下界都单调变化，可以直接记录区间和的值. 如果是最优化\(\mathrm{dp}\)，那就要用滑动窗口记录区间最值.
写代码的时候，在循环开始的时候排除队首过期决策，然后取队首作为最优解，然后加入新决策. 有些边界麻烦的初值可以暴力算掉.
多重背包怎么用单调队列优化？先写方程：\(f[j]=\max\limits_{1\leq k\leq c_i}\{f[j-k\times v_i]+k\times w_i\}\).
观察：决策点每次位移\(v_i\)，那就把\(j\)按照\(v_i\)的余数分类. 设\(j=u+v_i\times p\)，于是：
这样的话可以把\(i,u\)当成定值，枚举\(p\)，此时决策变量\(k\)的上下界单调变化，就可以用单调队列了.
多项式\(v(i,j)\)含有\(i,j\)乘积项的\(\mathrm{1D/1D}\)动态规划，一般可以用单调队列维护下凸壳\(/\)上凸壳.
设\(f_i=\max\limits_{0\leq j\leq i-1}\{f_j+A(i)+B(j)+p(i)q(j)\}\)，然后移项一下：
这时候把所有决策点\(j\)看成平面上的点\(P_j(-q(j),f_j+B(j))\)，那么现在你要用一条斜率为\(p(i)\)的直线去切这些点，求最小截距.
一般来说，这些点都是单调递增的，所以我们可以用单调队列维护下凸壳作为最优决策集. 如果\(p(i)\)也是单调的，只要在队首操作最优决策即可，如果\(p(i)\)不单调，那就二分找最优决策点.
如果这些点不是单调递增的话，那就要用平衡树\(/\)\(\mathrm{cdq}\)分治维护凸壳. 不过用李超树求一次函数最值会更简单.
注意事项有点多：
\(1.\) 决策变量有取值范围，在推入队列的时候改为推入可取的决策变量
\(2.\) \(dp\)数组有部分初值无法用斜率优化转移得到(决策变量被取值范围限制)，暴力先转移初值
\(3.\) 斜率会出现整数被\(0\)除，特判返回\(+\infty\)或\(-\infty\)
\(4.\) 计算斜率可能会出锅，\(\mathrm{slope}\)函数尽量公式化：数值大的下标为\(y\)，数值小的下标为\(x\)，计算时用\(val(y)-val(x)\)
\(5.\) 单调队列要注意：必须在队列内有至少两个元素才能删除队首或队尾
\(6.\) 浮点数运算很容易出问题，计算斜率或比较大小时记得转为\(\mathrm{double}\)类型
\(7.\) 精度可能会出问题，适当时计算斜率的除法要转为乘法
\(8.\) 考虑单调队列内是否要存一个转移初值(如\(0\))
\(9.\) \(dp\)数组的初值：\(+\infty\)或\(-\infty\)或\(0\)，是否要\(\mathrm{long\ long}\)，无穷要开够大
\(10.\) 弹出队首不优元素和队尾不在下凸壳内元素比较斜率时，请将等号加上(\(<\)尽量写成\(\leq\)，\(>\)尽量写成\(\geq\))
直接记结论即可：对于整数域上的二元函数\(w(x,y)\)，若其满足：
或者
则称\(w\)满足四边形不等式.
对于\(f_i=\min\limits_{0\leq j < i}\{f_j+w(j,i)\}\)，\(w(a,b)\)满足四边形不等式，则\(f\)的决策数组\(p\)单调不减.
暴力优化的话直接从上一个决策点开始枚举即可，如果用队列维护决策点连续段可以做到\(O(n\log_2 n)\)，需要用二分找分界点. 如果是二维的\(\mathrm{dp}\)，每次仅从上一维转移，可以采用分治写法，时间复杂度也是每层\(O(n\log_2 n)\)，如果一维\(\mathrm{dp}\)强行套\(\mathrm{cdq}\)分治的话，时间复杂度两个\(\log\).
对于\(f_{i,j}=\min\limits_{i\leq k<j}\{f_{i,k+1}+f_{k+1,j}+w(i,j)\}\)，若\(f_{i,i}=w_{i,i}=0\)，\(\forall a\leq b\leq c\leq d,w(a,d)\geq w(b,c)\)，\(w\)满足四边形不等式，则\(f\)的决策数组\(p\)有二维决策单调性：
按照长度为阶段的区间\(\mathrm{dp}\)，直接在决策范围里面枚举时间复杂度就优化到\(O(n^2)\).
\(\mathrm{BZOJ}4709\) 柠檬
\(\mathrm{CF868F\ Yet\ Another\ Minimization\ Problem}\)
\(\mathrm{CF321E\ Ciel\ and\ Gondolas}\)
任务安排\(4\)
标签：大小 mini 递增 lock 取值 类型 乘法 double 动态
原文地址：https://www.cnblogs.com/Parsnip/p/13373161.html
