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第一节 方程组的几何解释

线性方程的基本问题就是解线性方程组

例：\({ \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} {2x-y=0}\{-x+2y=3} \end{array}\right. }\)

分析：

? 对于二元线性方程组，对应的矩阵表示是

? \({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {2\text{?}\text{?}\text{?}\text{?}-1}\{-1\text{?}\text{?}\text{?}\text{?}2} \end{array} \right] }}\right. }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {x}\{y} \end{array} \right] }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {0}\{3} \end{array} \right] }}\right. }}\right. }\)

? 令：

? \({\begin{array}{*{20}{l}} {A={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {2\text{?}\text{?}\text{?}\text{?}-1}\{-1\text{?}\text{?}\text{?}\text{?}2} \end{array} \right] }}\right. }}\{x={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {x}\{y} \end{array} \right] }}\right. }}\{b={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {0}\{3} \end{array} \right] }}\right. }} \end{array}}\)

则原线性方程简化为:\(Ax=b\)

矩阵\(A\)称为系数矩阵

从行图像理解方程组

上例中，一行一行看，每一个方程都表示二维平面上的一条直线，作图

两条直线相较于点\((1,2)\)，也就说从行图像上看，方程组的解是一个两条直线的交点

从行图像理解方程组

将原方程组转化成向量形式：

\({x{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {2}\{-1} \end{array} \right] }}\right. }+y{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {-1}\{2} \end{array} \right] }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {0}\{3} \end{array} \right] }}\right. }}\right. }}\)

左边两个向量，通过\(x\)和\(y\)的线性组合形成了右边的向量，此时\((1,2)\)是方程组的解，作图

从列图像上看，方程组的解，是找出左侧向量与\(x,y\)的合适组合（即线性组合）得到右侧向量

多元方程组

从两元方程组延伸到三元：

1. 行图像：在三维空间中，三个平面的交点（假设有一个解）

   

2. 列图像：通过左侧三个向量的线性组合，得到右侧向量

综合行图像与列图像的分析，多元方程组的行图像是对矩阵\(A\)的行进行处理，而列图像是对矩阵\(A\)的列进行线性组合

问题

在这里思考一个问题：对于一个三元方程组（线性方程表示）：

\(Ax=x(列1)+y(列2)+z(列3)=b\)

由于\(x,y,z\)都是未知量，它们可能有无数种线性组合，

那么对于任意的\(b\)，是否都能求出\(Ax=b\)？也就是说所有列的线性组合能否覆盖整个三维空间？

答案是否定的

比如在列图像角度分析，对于一个方阵（行数和列数相等的矩阵）\(A\)，当三个列向量在同一平面上时（假设方程组有解），这三个列向量的线性组合也在这个平面上，也就是说\(b\)只能在这个平面上不会覆盖整个三维空间，这时矩阵\(A\)称为奇异矩阵，矩阵\(A\)不可逆的；如果三个列向量不共面，那么它们的线性组合有无数种情况，也就是说\(b\)的取值覆盖了整个三维空间，这时矩阵\(A\)称为非奇异矩阵

这是对奇异矩阵和非奇异矩阵几何理解，后面会再进行深入学习

矩阵与向量的运算

例：

\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {2\text{?}\text{?}5}\{1\text{?}\text{?}3} \end{array} \right] }}\right. }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1}\{2} \end{array} \right] }}\right. }\)

法一：（线性运算）

原式\({=1{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {2}\{1} \end{array} \right] }}\right. }+2{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {5}\{3} \end{array} \right] }=}\right. }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1 \times 2+2 \times 5}\{1 \times 1+2 \times 3} \end{array} \right] }}\right. }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {12}\{7} \end{array} \right] }}\right. }}\)

法二：（行运算）左侧矩阵\(A\)的每一行点乘右侧向量\(x\)

原式\({={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1 \times 2+2 \times 5}\{1 \times 1+2 \times 3} \end{array} \right] }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {12}\{7} \end{array} \right] }}\right. }}\right. }}\)

两种方法看似相同，但思路不同，第一种方法思路简单，对于再大点的矩阵运算时不易出错

第一节 方程组的几何解释

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原文地址：https://www.cnblogs.com/LuckyZhq/p/13373772.html