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消元法解线性方程组的思路，和初中的消元法解二元方程一样，先用两个方程通过乘上一个系数再相加减消去一个未知数，再回代求另一个未知数
例：
\({ \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} {x+2y+z=2}\{3x+8y+z=12}\{4y+z=2} \end{array}\right. }\)
用矩阵形式表示（即\(Ax=b\)形式）：
\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}1}\{3\text{?}\text{?}8\text{?}\text{?}1}\{0\text{?}\text{?}4\text{?}\text{?}1} \end{array} \right] }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {x}\{y}\{z} \end{array} \right] }}\right. }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {2}\{12}\{2} \end{array} \right] }}\right. }}\right. }\)
在消元法中，矩阵的主对角线上的元素称为主元，它在消元中起到主导作用
前面介绍过\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}1}\{3\text{?}\text{?}8\text{?}\text{?}1}\{0\text{?}\text{?}4\text{?}\text{?}1} \end{array} \right] }}\right. }\)称为方程组的系数矩阵，而\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}2}\{3\text{?}\text{?}8\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}12}\{0\text{?}\text{?}4\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}2} \end{array} \right] }}\right. }\)称为方程组的增广矩阵
消元
\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {\mathop{{1}}\limits_{ˉ}\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}2}\{3\text{?}\text{?}8\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}12}\{0\text{?}\text{?}4\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}2} \end{array} \right] }}\right. } \xrightarrow { \left( 2,1 \right) }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {\mathop{{1}}\limits_{ˉ}\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}2}\{0\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}-2\text{?}\text{?}6}\{0\text{?}\text{?}4\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}2} \end{array} \right] }}\right. }\)
确定\((1,1)\)为主元（已标出），\(-3 \times [行1] + [行2] = [新行]\)消去\((2,1)\)
因为\((3,1)\)已经是\(0\)，可以跳过
\({ \left[ {\left. \begin{array}{*{20}{l}} {\mathop{{1}}\limits_{ˉ}\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}2}\{0\text{?}\text{?}\mathop{{1}}\limits_{ˉ}\text{?}\text{?}-1\text{?}\text{?}3}\{0\text{?}\text{?}4\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}2} \end{array} \right] }\right. } \xrightarrow { \left( 3,2 \right) }{ \left[ {\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}\text{?}\text{?}2}\{0\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}-1\text{?}\text{?}\text{?}\text{?}3}\{0\text{?}\text{?}0\text{?}\text{?}\text{?}\text{?}5\text{?}-10} \end{array} \right] }\right. }\)
? 2. 可先对行2进行除以2变换，再次确定\((2,2)\)为主元（已标出），\(-4 \times [行2] + [行3] = [新行]\)消去\((3,2)\)
回代
消元后的矩阵变为：
\({ \left[ {\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}1}\{0\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}-1}\{0\text{?}\text{?}0\text{?}\text{?}5} \end{array} \right] }\right. }{ \left[ {\left. \begin{array}{*{20}{l}} {x}\{y}\{z} \end{array} \right] }\right. }={ \left[ {\left. \begin{array}{*{20}{l}} {2}\{?3}\{-10} \end{array} \right] }\right. }\)
在左侧系数矩阵中，以主对角线为界，下部分都是\(0\)的矩阵称为上三角矩阵（Upper triangular），简称\(U\)
转换成方程组并求解：
\({ \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} {x+2y+z=2}\{y-z=3}\{5z=-10} \end{array}\right. } \Rightarrow { \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} {x=2}\{y=1}\{z=-2} \end{array}\right. }\)
如果线性方程\((1,1)\)已经是\(0\)了，还能用消元法吗？
可以，要必须保证主元不能为\(0\)，可以进行行变换，即交换两行的位置
初等行变换
- （倍加变换）把某一行换成它本身与另一行的倍数和
- （对换变换）把两行交换
- （倍乘变换）把某一行的所有元素乘以同一个非零常数
若一个矩阵可以通过初等行变换成另一个矩阵，那么这两个矩阵就是行等价的
从矩阵等式上看怎么判断矩阵是否相容（有解）？
一个线性方程组如果有一个或无穷个解，那么称这个方程组是相容的；如果没有解，那么称这个方程组是不相容的
对于刚才的例子可以看出，能够求出方程组的解，说明上例中的方程组是相容的
例：
\({ \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} {y-z=8}\{2x-3y+2z=1}\{4x-8y+12z=1} \end{array}\right. } \xrightarrow {\text{消}\text{元}}{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {2\text{?}\text{?}-3\text{?}\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}\text{?}1}\{0\text{?}\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}-4\text{?}\text{?}\text{?}8}\{0\text{?}\text{?}\text{?}0\text{?}\text{?}\text{?}0\text{?}\text{?}\text{?}15} \end{array} \right] }}\right. } \xrightarrow {\text{化}\text{成}\text{方}\text{程}\text{表}\text{示}}{ \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} {2x-3y+2z=1}\{y-4z=8}\{0=15} \end{array}\right. }\)
省略消元的具体步骤，自己可以试一下，最后\(0=15\)显然是矛盾的，所以这个例子中的方程组是不相容的
给出
\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}1}\{3\text{?}\text{?}8\text{?}\text{?}1}\{0\text{?}\text{?}4\text{?}\text{?}1} \end{array} \right] }}\right. } \xrightarrow {\text{消}\text{去} \left( 2,1 \right) }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}1}\{0\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}-2}\{0\text{?}\text{?}4\text{?}\text{?}1} \end{array} \right] }}\right. }\)
问：
\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {}\{\text{?}}\{} \end{array} \right] }}\right. }{ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}1}\{3\text{?}\text{?}8\text{?}\text{?}1}\{0\text{?}\text{?}4\text{?}\text{?}1} \end{array} \right] }}\right. }={ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}1}\{0\text{?}\text{?}2\text{?}\text{?}-2}\{0\text{?}\text{?}4\text{?}\text{?}1} \end{array} \right] }}\right. }\)
只消去\((2,1)\)，要保持第一行和第三行不变，故可以知道最左侧矩阵的一部分为\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{?}\text{?}0\text{?}\text{?}0}\{\text{?}\text{?}\text{?}\text{?}\text{?}\text{?}}\{0\text{?}\text{?}0\text{?}\text{?}1} \end{array} \right] }}\right. }\)
\([1\ 0\ 0]\)表示取第一行，即第一行不变，不懂的话可以用上一节矩阵和向量的运算推一下
再拓展一个概念：单位矩阵
单位矩阵，首先它是一个方阵，单位矩阵乘以矩阵\(B\)还等于矩阵\(B\)。通过刚才所说，可以得到单位矩阵的形式为主对角线都是\(1\)，其他都是\(0\)的矩阵，比如\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{?}\text{?}0\text{?}\text{?}0}\ {0\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}0}\ {0\text{?}\text{?}0\text{?}\text{?}1} \end{array} \right] }}\right. }\)
如果要消去\((2,1)\)，\(-3 \times [行1] + [行2]\)所以第一行要乘以\(-3\)，则可得出最左侧矩阵为\({ \left[ {{\left. \begin{array}{*{20}{l}} {1\text{?}\text{?}\text{?}\text{?}0\text{?}\text{?}0}\{-3\text{?}\text{?}1\text{?}\text{?}0}\{0\text{?}\text{?}\text{?}\text{?}0\text{?}\text{?}1} \end{array} \right] }}\right. }\)，这个矩阵称为初等矩阵，用\({E\mathop{{}}\nolimits_{{21}}}\)表示
E表示Elementary（初等）或Elimination（消元），下标\(21\)代表要消去\((2,1)\)
故回到开头给出的例子，整个消元过程就可以简化为\({E\mathop{{}}\nolimits_{{32}} \left( E\mathop{{}}\nolimits_{{21}}A \left) =U\right. \right. }\)
标签：位置 初中 概念 inline tar 下标 变换 ati lin
原文地址：https://www.cnblogs.com/LuckyZhq/p/13377526.html
