[知识点] 6.4.1 素数与最大公约数

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前言

数论开始。这一块知识点还挺凌乱的，又多又杂。

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6.4.1 素数与最大公约数

1、素数

对于正整数 a, d，如果存在正整数 k，使得 a = kd，则称 d 整除 a，记作 d | a。这时，a 是 d 的倍数，而 d 是 a 的约数（因数，因子）。

显然，对于任意大于 1 的整数 a，它都能被 1 和 a 整除，而如果它能且仅能被这两个数整除，则称 a 为素数（质数）；否则，则称 a 为合数。举例子：

5 的约数为 1 和 5，则 5 为素数；

12 的约数为 1, 2, 3, 4, 6, 12，则 12 为合数。

1 既不是素数也不是合数。

顺带一提素数计数函数：小于等于 x 的素数的个数，用 π(x) 表示。当 x 趋近于无穷大时，π(x) 趋近于 x / lnx。

2、素数判定

判定 a 是否为素数，最暴力的做法是从 2 到 a - 1 逐一判断看是否能整除，时间复杂度为 O(n)，但其实是没必要的，很容易发现，如果 d 是 a 的约数，则 a / d 也是 a 的约数，就如上述 12 的 6 个约数，可以组成 1 * 12, 2 * 6, 3 * 4 三组，而我们只需要对这些组较小的那个数进行判断即可，显然，这些较小数是恒小于等于 a 的平方根的。这样，我们的时间复杂度骤降至 O(sqrt(n))。代码如下：

bool isPrime(int a) {
    for (int i = 2; i * i <= a; i++)
        if (a % i == 0) return 0;
      return 1;
}

同样地，这个算法可以延伸为求任意数的约数个数，此处略。

还有许多高大上的素数判定方法，诸如 Miller-Rabin 素性测试，Fermat 素性测试，卡迈克尔数等等概念，此处暂略。

3、反素数

① 概念

对于正整数 n，如果任何小于它的正整数的因子个数都小于它的因子个数，则称 n 为反素数，比如 1, 2, 4, 6, 12, ...

为什么这样定义呢？因为素数可以认为是因子最少的数，反素数则是对于一个特定集合的因子最多的数，而这个特定集合就是 1 到这个数本身。

② 求解

如何求解反素数？要求一个数的因子个数，首先需要分解质因子，即把 n 分解成 n = p1 ^ k1 + p2 ^ k2 + ... + pn ^ kn 的形式，其中 p 为素数，k 为对应 p 的指数，这样 n 的因子个数为 (k1 + 1) * (k2 + 1) * ... * (kn + 1)。并且，容易得到以下两个推论：

> 假设 p1 < p2 < ... < pn，那么 p1, p2, ..., pn 肯定是从 2 开始的连续素数数列；

> 假设 p1 < p2 < ... < pn，那么肯定满足 k1 >= k2 >= ... >= kn。

两个推论均可通过反证法证明。

根据这两个推论进行枚举就行啦。

代码：

本文参考了：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/41759808

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原文地址：https://www.cnblogs.com/jinkun113/p/13387901.html