a^-1+b problem

• 题目链接
  uoj#182

• 前言
  刚看到题以为是毒瘤数据结构，没想到是毒瘤多项式......

• 题意
  给定一个\(n\)个元素的序列{\(a_n\)}，有\(2\)种操作:
  \(1.\) 给序列中的每个数加\(x\)
  \(2.\) 将序列中的每个数变为其逆元（保证此时每个数存在逆元）
  现在有\(m\)次操作，求每次操作后序列的和。

• 题解
  首先每个数在操作后一定会变成\(\frac{ax+b}{cx+d}\) 的形式（我这一步没想到，然后直接弃了）
  那么我们将其化成\(e+f·\frac{1}{x+g}\) 的形式，令函数\(F(x)\)为这个东西，那么答案为

  \[\sum_{i=1}^{n} F(a_i)=ne+f·\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i+g} \]

  这东西看着就知道很不好求，考虑构造函数\(G(x)=\prod_{i=1}^n (a_i+x)\) ，将答案乘上\(G(g)\)，那么就有

  \[G(g)\sum_{i=1}^n F(a_i)=neG(g)+f·\sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i}(a_j+g) \]

  这样就可以考虑再构造函数\(H(x)=\sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i} (a_j+x)\) ，所以

  \[\sum_{i=1}^n F(a_i)=ne+f·\frac{H(g)}{G(g)} \]

  所以就直接离线，多项式多点求值，就做完了。

• 实现
  \(G\)可以直接分治\(fft\)解决，\(H\)观察一下发现是\(G\)的导数，可以直接求导解决。
  时间复杂度\(O(nlog^2n)\)。

a^-1+b problem

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原文地址：https://www.cnblogs.com/leukocyte/p/13387797.html