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在监督学习中,已知样本 ,要求拟合出一个模型(函数),其预测值与样本实际值的误差最小。
考虑到样本数据其实是采样,并不是真实值本身,假设真实模型(函数)是,则采样值,其中代表噪音,其均值为0,方差为。
拟合函数的主要目的是希望它能对新的样本进行预测,所以,拟合出函数后,需要在测试集(训练时未见过的数据)上检测其预测值与实际值之间的误差。可以采用平方误差函数(mean squared error)来度量其拟合的好坏程度,即
经过进一步的研究发现,对于某种特定的模型(下面还会进一步说明“特定模型”的含义),其误差的期望值可以分解为三个部分:样本噪音、模型预测值的方差、预测值相对真实值的偏差
公式为:
其中
即:误差的期望值 = 噪音的方差 + 模型预测值的方差 + 预测值相对真实值的偏差的平方
先看一个图比较直观。
使用特定模型对一个测试样本进行预测,就像打靶一样。
靶心(红点)是测试样本的真实值,测试样本的y(橙色点)是真实值加上噪音,特定模型重复多次训练会得到多个具体的模型,每一个具体模型对测试样本进行一次预测,就在靶上打出一个预测值(图上蓝色的点)。所有预测值的平均就是预测值的期望(较大的浅蓝色点),浅蓝色的圆圈表示预测值的离散程度,即预测值的方差。
所以,特定模型的预测值 与 真实值 的误差的 期望值,分解为上面公式中的三个部分,对应到图上的三条橙色线段:预测值的偏差、预测值的方差、样本噪音。
回顾一下,期望值的含义是指在同样的条件下重复多次随机试验,得到的所有可能状态的平均结果(更详细的定义参考维基百科-期望值)。对于机器学习来说,这种实验就是我们选择一种算法(并选定超参数),以及设置一个固定的训练集大小,这就是同样的条件,也就是上文所说的特定的模型。然后每次训练时从样本空间中选择一批样本作为训练集,但每次都随机抽取不同的样本,这样重复进行多次训练。每次训练会得到一个具体的模型,每个具体模型对同一个未见过的样本进行预测可以得到预测值。不断重复训练和预测,就能得到一系列预测值,根据样本和这些预测值计算出方差和偏差,就可以帮助我们考察该特定模型的预测误差的期望值,也就能衡量该特定模型的性能。对比多个特定模型的误差的期望值,可以帮助我们选择合适的模型。
再看一个更接近实际的例子,来自 Bias-Variance in Machine Learning
我们设置真实模型 ,函数图像如下图曲线所示。
样本值 y 就在真实值的基础上叠加一个随机噪音 N(0, 0.2)。
现在我们用线性函数来构建模型,训练样本来自随机采集的一组 y,经过多次重复,可以得到一系列具体的线性模型,如下图中那一组聚集在一起的黑色直线所示,其中间有一条红色线是这一组线性函数的平均(期望值)。这就是特定模型(线性函数)在同样条件下(每次取20个样本点)重复多次(得到50个线性函数)。
根据生成的50个具体的线性函数来考察该线性模型的预测性能,选取一个样本点,比如选择 x=5 时(下图中红色竖线位置),真实值 f(x) = 6.876,样本 ,y 与 f(x) 的偏差体现在图片右下方的噪音(noise) 部分。红色线性函数在 x=5 位置的值是这50个线性函数在该位置的期望值,黑色直线在 x=5 位置的一系列值的分布则反映了它们的方差(Variance)。50个预测的期望值与真实值 f(x) 之间的距离体现了偏差(Bias)。(参考下图右下部分的 variance 和 bias)。
总之,在机器学习中考察 偏差 和 方差,最重要的是要在不同数据集上训练出一组特定模型,这些模型对一个测试样本进行预测,考察这一组预测值的方差和偏差。
误差的期望值公式为什么可以分解为 噪音、偏差和方差,可以从数学上推导得来。先准备几个推导中需要用到的公式,为了方便,我们简化符号,记作
方差的定义和计算公式
即 随机变量X的方差 = X平方的期望 - X期望的平方(参考 维基百科-方差),移项后得到
测试样本y的期望值
因为真实值是一个确定的值,所以
另外根据上文测试样本值和噪音的定义
所以,即
测试样本y的方差
即
样本噪音与预测值无关
因为 与 不相关,所以
(参考维基百科-期望值)
误差的期望
公式推导如下
最后得到的三个项分别是:噪音的方差、模型预测值的方差、预测值相对真实值的偏差的平方。
理想中,我们希望得到一个偏差和方差都很小的模型(下图左上),但实际上往往很困难。
选择相对较好的模型的顺序:方差小,偏差小 > 方差小,偏差大 > 方差大,偏差小 > 方差大,偏差大。
方差小,偏差大 之所以在实际中排位相对靠前,是因为它比较稳定。很多时候实际中无法获得非常全面的数据集,那么,如果一个模型在可获得的样本上有较小的方差,说明它对不同数据集的敏感度不高,可以期望它对新数据集的预测效果比较稳定。
很多时候,机器学习所面临的问题,我们事先并不确切的知道要拟合的是一个怎样形式的函数,是几次多项式,是几层神经网络,选择样本的哪些特征,等等,都缺乏先验的知识来帮助我们选择。我们在一个基本上无穷大的假设(模型)集合中,凭借有限的经验进行尝试和选择。
机器学习有多种算法,以及每种算法中经常又可以选择不同的结构和超参数。它们所覆盖的假设集合有不同的大小。所以,选择一种算法(包括其结构和超参数),就是选择(限定)了一个假设集合。我们期望真实模型存在于我们所选定的假设集合范围内,并且该假设集合越小越好。
下面两幅图粗略表现了不同假设集合的关系
我们思考一下监督学习的整个流程,其实就是一个不断缩小假设集合的过程。从大的方面看可以分为两个步骤。
上面第一个步骤中,我们可以选择一些不同的假设集合,然后通过考察它们的偏差方差,对各假设集合的性能进行评估。比如多项式的次数,上图假设真实模型是一个二次多项式,那么线性函数集合中的模型会欠拟合(方差低,偏差太高),高次多项式集合中的模型容易过拟合(方差太高,偏差低),二项式集合中的模型能够有较好的折中(方差和偏差都相对较低),总体误差最小。
下面几个案例来自 Andrew Ng 的公开课《Machine Learning》。
多项式次数 | 模型复杂度 | 方差 | 偏差 | 过/欠拟合 |
---|---|---|---|---|
低 | 低 | 低 | 高 | 欠拟合 |
中 | 中 | 中 | 中 | 适度 |
高 | 高 | 高 | 低 | 过拟合 |
多项式次数 | 模型复杂度 | 训练误差 | 测试误差 |
---|---|---|---|
低 | 低 | 高 | 高 |
中 | 中 | 中 | 低 |
高 | 高 | 低 | 高 |
正则化项权重λ | 模型复杂度 | 方差 | 偏差 | 过/欠拟合 |
---|---|---|---|---|
大 | 低 | 低 | 高 | 欠拟合 |
中 | 中 | 中 | 中 | 适度 |
小 | 高 | 高 | 低 | 过拟合 |
正则化项权重λ | 模型复杂度 | 训练误差 | 测试误差 |
---|---|---|---|
大 | 低 | 高 | 高 |
中 | 中 | 中 | 低 |
小 | 高 | 低 | 高 |
神经网络结构 | 模型复杂度 | 方差 | 偏差 | 过/欠拟合 |
---|---|---|---|---|
小 | 低 | 低 | 高 | 欠拟合 |
中 | 中 | 中 | 中 | 适度 |
大 | 高 | 高 | 低 | 过拟合 |
计算偏差、方差可以帮助评估不同的假设集合,不过它需要较多的样本,以及重复多次拟合模型,需要比较多的数据和计算资源(参考上面图3)。
实际中,比较常用的方法是K-Fold交叉验证。它与标准的偏差、方差计算过程不太一样。简单的说,就是将训练样本分成k份,每次取其中一份作为验证集,另外 k-1 份作训练集。这样进行 k 次训练得到 k 个模型。这 k 个模型对各自的验证集进行预测,得到 k 个评估值(可以是误差、准确率,或按某种规则计算的得分等等)。注意到每个样本参与了 k-1 个模型的训练(导致模型之间存在关联),每个样本有一次被用作测试(没有用另外的从未见过的测试集数据),所以这与标准的计算过程是不一样的。
不过,K-Fold依然是很有价值的模型性能评估方法。可以直接针对这 k 个模型的评估值(误差、准确率,或按某种规则计算的得分等等)进行分析,取其平均可以体现该模型的预测准确性。对这 k 个值,比如k个误差值,计算方差,可以反应该模型的预测误差的离散程度,即后续用于未见过的样本数据时,模型的预测准确性是否稳定。
维基百科 - Bias–variance tradeoff
Bias-Variance in Machine Learning
维基百科 - 方差
维基百科 - 期望值
《Pattern Recognition and Machine Learning》之 3.2. The Bias-Variance Decomposition
偏差(Bias)和方差(Variance)——机器学习中的模型选择
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原文地址:https://www.cnblogs.com/Ph-one/p/13396669.html