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容斥原理
用于计算多个集合并集的大小。
\[\small\text{一张用烂的图}
\]
\[\small\text{from Wikipedia}
\]
先将所有 单个集合 的大小计算出来，减去所有 两个集合 相交的部分，加回所有 三个集合 相交的部分，减去所有 四个集合 相交的部分，依此类推，一直计算到 所有集合 相交的部分。
写成数学公式形式：
\[{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|={}&\sum _{i=1}^{n}|A_{i}|-\sum _{1\leq i<j\leq n}|A_{i}\cap A_{j}|+\sum _{1\leq i<j<k\leq n}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}|-\cdots +(-1)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|.\end{aligned}}}
\]
即为：
\[{\displaystyle \left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\left(\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\le n}|A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}|\right)}
\]
证明
需证明通过上述方法计算，每个元素仅被覆盖了一次。
考虑一个出现在 \(m\) 个集合中的元素 \(x\)。
按照上述方法：
- 选取一个集合时，显然 \(x\) 在其中出现次数为 \({m\choose 1}\)。
- 选取两个集合时，两集合贡献为其并集的大小。
则 \(x\) 在两集合中均出现时 才有贡献。
出现次数为 满足条件的方案数，即 \(-{m\choose 2}\)。
- 选取三个集合时，分析过程同上，出现次数为 \({m\choose 3}\)。
- 以此类推，选取集合数 \(>m\) 时，\(x\) 不会在并集中出现，失去贡献。
，则 \(x\) 的出现次数为：
\[\begin{aligned}
Cnt =& {m\choose 1} - {m\choose 2} +... + (-1)^m{m\choose m}\ =& \sum_{i=1}^{m}(-1)^{i-1}{m\choose i}
\end{aligned}\]
发现这玩意挺优美，考虑二项式定理：
\[\begin{aligned}
Cnt =& \sum_{i=1}^{m}(-1)^{i-1}{m\choose i}\ = & -\sum_{i=1}^{m}(-1)^{i}{m\choose i}\ = &{m\choose 0} -{m\choose 0} -\sum_{i=1}^{m}(-1)^{i}{m\choose i}\ = &{m\choose 0} -\sum_{i=0}^{m}{m\choose i}(-1)^{i}\ = &1-(-1+1)^m\ = &1
\end{aligned}\]
得证。
交集
用全集减去 补集的并集 求得，即 补集的并集 的补集。
\[\bigcap _{{i=1}}^{n}A_{i} = |U|-\left|\bigcup_{i=1}^n\overline{A_i}\right| = \overline {\bigcup _{{i=1}}^{n}\overline {A}_{i}}
\]
正确性显然，略证：
\(\overline{A_i}\) 为除 \(A_i\) 外的元素。
\(\overline{A_i} \cup \overline{A_j}\) 为除 \(A_i\cap A_j\) 外的元素。
\(\left|\bigcup\limits_{i=1}^n\overline{A_i}\right|\) 则为除 \(\bigcap\limits_{{i=1}}^{n}A_{i}\) 外的元素。
其补集即为交集。
写在最后
水炊老师太神了吧 /fad
单马尾文文好可爱（
容斥原理
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原文地址：https://www.cnblogs.com/luckyblock/p/13420036.html
