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简介

矩阵树定理用于生成树计数。

高斯消元解行列式

行列式就是一个\(n\times n\)的矩阵。对行列式可以求值。

具体怎么做，就是行列式搞一次高斯消元，然后对角线乘起来就是行列式的值。

矩阵树定理

首先要求出“基尔霍夫矩阵”，这需要两个矩阵\(D\)和\(A\)，然后\(D-A\)就是它了。

接着把这个矩阵（这是行列式）求值，要丢掉一行一列。

这两个矩阵是什么，要丢掉哪一行/列，看要求什么：

无向图生成树：\(D\)为度数矩阵（存在对角线位置），\(A\)为邻接矩阵，一般丢最后一行一列（随便丢哪一行哪一列都行）。

有向图内向生成树：\(D\)为出度矩阵，\(A\)为邻接矩阵，丢第\(root\)行第\(root\)列。

有向图外向生成树：\(D\)为入度矩阵，\(A\)为邻接矩阵，丢第\(root\)行第\(root\)列。

带边权：\(D\)为出/入/出入边和（可以理解为带权的出入度，这里类比一下，懒得分类讨论了），\(A\)位带权的邻接矩阵，丢的行列同上。

矩阵树定理（结论版）

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原文地址：https://www.cnblogs.com/SKTT1Faker/p/13618234.html