标签：class 无向图 修改 常用 更新 假设 sqrt 超过 证明
在图论中，常常有这么一类问题，\(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，每次可以修改一个结点的信息，每次询问一个点邻接到的所有点的信息之和，\(n\) 和 \(m\) 以及询问数 \(q\) 均在 \(10^5\) 这个级别。
如果直接去模拟，如果数据频繁地询问一个度数非常大的结点，显然将会 TLE。对于这种题目，有一种常用的做法是图论分块，使用了均摊复杂度的思想，时间复杂度可以达到 \(O(q\sqrt m)\)。有时图论分块还会套数据结构。
设有一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，不妨设度数小于等于 \(\sqrt {2m}\) 的点为轻点，度数大于 \(\sqrt {2m}\) 的点为重点，那么有以下结论：
一个轻点只与不超过 \(\sqrt {2m}\) 个点相邻，一个重点只与不超过 \(\sqrt {2m}\) 个重点相邻。
证明：假设重点 \(u\) 和多于 \(\sqrt {2m}\) 个重点相邻，那么和 \(u\) 相邻的重点度数之和将大于 \(\sqrt {2m}\times \sqrt {2m}=2m\)，由握手定理，\(m\) 条边的无向图度数为 \(2m\)，矛盾。所以一个重点只与不超过 \(\sqrt {2m}\) 个重点相邻。
有些博客是按 \(\sqrt m\) 划分轻重点，然后说一个重点只与不超过 \(\sqrt m\) 个重点相邻，这是错的，应该指明在渐进意义下。
那么轻点同时向相邻的轻点和重点连有向边，重点只向相邻的重点连有向边。那么每更新一个轻点，同时要维护这个轻点邻接到的所有点的信息；每更新一个重点，只维护它邻接到的重点的信息。如果询问一个重点，那么直接输出这个重点的信息；如果询问一个轻点，因为重点不会去更新轻点，所以需要暴力遍历和它相邻的所有点，计算出答案。如果修改一个点的时间复杂度是 \(O(1)\)的，那么这样单次操作的时间复杂度是 \(O(\sqrt m)\)，\(q\) 次操作的时间复杂度为 \(O(q\sqrt m)\)。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/AEMShana/p/13621787.html
