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基于误差状态卡尔曼滤波(ESKF)的四元数运动学

文章作者：Joan Sol`a
发表时间：October 12, 2017（注：Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter 貌似有好几个版本，我这里选择翻译的是2017年10月的版本）
原文：Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter
目录：

• 1 四元数的定义和性质
  • 1.1 四元数定义
    • 1.1.1 四元数的替代表示
  • 1.2 主要的四元数属性
    • 1.2.1 求和
    • 1.2.2 乘积
    • 1.2.3 同一性(Identity)
    • 1.2.4 共轭
    • 1.2.5 范数
    • 1.2.6 逆
    • 1.2.7 单位或归一化的四元数
  • 1.3 额外的四元数属性
    • 1.3.1 四元数交换子
    • 1.3.2 纯四元数的乘积
    • 1.3.3 纯四元数的自然幂
    • 1.3.4 纯四元数的指数
    • 1.3.5 一般四元数的指数
    • 1.3.6 单位四元数的对数
    • 1.3.7 一般四元数的对数
    • 1.3.8 $\mathbf{q}^t$类型的指数形式
• 2 旋转和互相关
  • 2.1 3D向量旋转公式
  • 2.2 旋转群$SO(3)$
  • 2.3 旋转群和旋转矩阵
    • 2.3.1 指数映射
    • 2.3.2 大写的指数映射
    • 2.3.3 旋转矩阵和旋转向量：罗德里格斯旋转公式
    • 2.3.4 对数映射
    • 2.3.5 旋转动作
  • 2.4 旋转群和四元数
    • 2.4.1 指数映射
    • 2.4.2 大写的指数映射
    • 2.4.3 四元数和旋转向量
    • 2.4.4 对数映射
    • 2.4.5 旋转动作
    • 2.4.6 $SO(3)$流型的双覆盖
  • 2.5 旋转矩阵和四元数
  • 2.6 旋转组成
  • 2.7 球面线性插值
  • 2.8 四元数和等轴旋转:解释魔法
• 3 四元数约定，我的选择
  • 3.1 四元数特色
    • 3.1.1 四元数分量的顺序
    • 3.1.2 四元数代数的规范
    • 3.1.3 旋转操作的函数
    • 3.1.4 旋转操作的方向
• 4 扰动，导数和积分
  • 4.1 $SO(3)$中的加法和减法运算符
  • 4.2 四个可能的导数定义
    • 4.2.1 从向量空间到向量空间的函数
    • 4.2.2 从$SO(3)$到$SO(3)$的空间
    • 4.2.3 从向量空间到$SO(3)$的函数
    • 4.2.4 从$SO(3)$到向量空间的函数
  • 4.3 有用的，且非常有用的，旋转的雅可比
    • 4.3.1 关于向量的雅可比
    • 4.3.2 关于四元数的雅可比
    • 4.3.3 $SO(3)$的右雅可比
    • 4.3.4 关于旋转向量的雅可比
  • 4.4 扰动，不确定性，噪声
    • 4.4.1 局部扰动
    • 4.4.2 全局扰动
  • 4.5 时间导数
    • 4.5.1 全局与局部的关系
    • 4.5.2 四元数乘的时间导数
    • 4.5.3 其他有用的导数表达式
  • 4.6 旋转率的时间积分
    • 4.6.1 零阶积分
    • 4.6.2 一阶积分
• 5 基于IMU驱动系统的误差状态运动学
  • 5.1 运动
  • 5.2 误差状态卡尔曼滤波解释
  • 5.3 持续时间的系统运动学
    5.3.1 真实状态运动学
    5.3.2 标称状态运动学
    5.3.3 误差状态运动学
  • 5.4 离散时间的系统运动学
    • 5.4.1 标称状态运动学
    • 5.4.2 误差状态运动学
    • 5.4.3 误差状态雅可比和扰动矩阵
• 6 用将IMU与互补的感知数据融合
  • 6.1 通过滤波校准的误差状态观测
    • 6.1.1 用于滤波器校正的雅可比计算
  • 6.2 将观测误差引入标称状态
  • 6.3 ESKF 重置
    • 6.3.1 关于定位误差的复位操作的雅可比
• 7 使用全局角度误差的ESKF
  • 7.1 持续时间的系统运动学
    • 7.1.1 真实和标称状态运动学
    • 7.1.2 误差状态运动学
  • 7.2 离散时间的系统运动学
    • 7.2.1 标称状态
    • 7.2.2 误差状态
    • 7.2.3 误差状态雅可比和扰动矩阵
  • 7.3 与互补的传感数据融合
    • 7.3.1 误差状态观测
    • 7.3.2 将观测到的误差引入标称状态
    • 7.3.3 ESKF重置
• A 龙格-库塔数值积分方法
  • A.1 欧拉方法
  • A.2 中间点方法
  • A.3 RK4方法
  • A.4 一般的龙格-库塔方法
• B 闭式积分方法
  • B.1 角度误差的积分
  • B.2 简化的IMU例子
  • B.3 完整的IMU例子
• C 使用截断序列的近似方法
  • C.1 系统截断
    • C.1.1 一阶截断：有限差分法
    • C.1.2 N阶截断
  • C.2 逐块截断
• D 通过龙格-库塔积分的转移矩阵
  • D.1 误差状态示例
• E 随机噪声和扰动的积分
  • E.1 噪声和扰动脉冲
  • E.2 完整的IMU例子
    • E.2.1 噪声和扰动脉冲

    前言，开始入门SLAM行业有几年了，知道自己还是处于刚刚入门的水平，对于卡尔曼滤波等一些算法公式以及推导能看懂个大概，但又不是完全地了解，这种半吊子水平让我很苦恼，也很有危机感，感觉需要做点什么来系统的提高下算法基础上的水平，在各种机缘之下，决定通过全文翻译一遍这篇文章的方式来学习它。至于目的，一是，因为我的英文水平也是半吊子，长时间看这种英文的教材，估计自己很难坚持下去，但又不想让对这篇文章的学习半途而费，所以才想出了这么个笨办法，总比什么都不做要强；二也是为了将它分享给和我有相同的苦恼的同行，希望能对大家有帮助。

说明，关于翻译部分，为了保持习惯的一致性，这里做一些说明，方便读者阅读起来更清晰。虽然我检查多遍，但仍然难免翻译过程中出错，如果公式打错或者翻译有误的地方，欢迎并感谢广大读者提出改正意见。

• 1，如图1所示，对于文章中，用斜体格式的专有名词，我在译文中，加粗表示，并在旁边用中文括号写出其对应的中文翻译名称（如图2所示）。

文章翻译—基于误差状态卡尔曼滤波器的四元数运动学—前言

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原文地址：https://www.cnblogs.com/qinsun/p/13772793.html