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COCI 2016/2017 CONTEST #3 - Kronican

ZJNU 2471 - Kronican

题意

有\(n\)个无限体积的杯子，里面都有一些水，Mislav想喝掉所有的水，但他只想喝最多\(k\)杯水

所以他需要将这\(n\)杯水进行合并，将第\(i\)杯水倒进第\(j\)杯所需要的花费为\(C_{i,j}\)

问喝到所有水的最小花费

限制

\(1\leq k\leq n\leq 20\)

\(0\leq C_{i,j}\leq 10^5\)

思路一（最小树形图）

由于数据范围只有\(20\)，首先可以枚举出最后剩下的\(k\)杯水是哪些，最多的情况数为\(C_{20}^{10}\)

• 可以以\(0/1\)两种状态表示每个杯子最终状态，存在一个长度为\(n\)的数组内，以next_permutation来遍历所有\(C_n^k\)种情况即可，也可通过二进制枚举方法等。

对于枚举出来的每一个状态，确定了最后“剩下的水杯”是哪些。

将水杯看作一张有向图中的节点，就表示需要找出一张最小树形图（森林），使得每个“空水杯”顺着箭头走最终都会指向那些“剩下的水杯”。

又贪心可得，“剩下的水杯”严格为\(k\)杯时答案最优，所以这可能是一张包含\(k\)棵有向树的森林，故需要建立一个虚根，让所有“剩下的水杯”指向这个虚根，再对虚根做一遍最小树形图即可。

• 下图为\(n=11,k=3\)时的树形图（注意在跑最小树形图算法时应反向建边）

程序一

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;

struct Edge{
    int u,v,dis;
    Edge(){}
    Edge(int u,int v,int dis):u(u),v(v),dis(dis){}
};
struct Directed_MT{
    int n,m;
    Edge edges[400];
    int vis[25],pre[25],id[25],in[25];
    void init(int n){
        this->n=n;
        m=0;
    }
    void addedge(int u,int v,int dis){
        edges[m++]=Edge(u,v,dis);
    }
    int DirMt(int root){
        int ans=0;
        while(1){
            for(int i=0;i<n;i++)in[i]=INF;
            for(int i=0;i<m;i++){
                int u=edges[i].u,v=edges[i].v;
                if(edges[i].dis<in[v]&&u!=v){
                    in[v]=edges[i].dis;
                    pre[v]=u;
                }
            }
            for(int i=0;i<n;i++){
                if(i==root)continue;
                if(in[i]==INF)return -1;
            }
            int cnt=0;
            memset(id,-1,sizeof(id));
            memset(vis,-1,sizeof(vis));
            in[root]=0;
            for(int i=0;i<n;i++){
                ans+=in[i];
                int v=i;
                while(vis[v]!=i&&id[v]==-1&&v!=root){
                    vis[v]=i;
                    v=pre[v];
                }
                if(v!=root&&id[v]==-1){
                    for(int u=pre[v];u!=v;u=pre[u]) 
                        id[u]=cnt;
                    id[v]=cnt++;
                }
            }
            if(cnt==0)break;
            for(int i=0;i<n;i++) 
                if(id[i]==-1)id[i]=cnt++;
            for(int i=0;i<m;i++){
                int v=edges[i].v;
                edges[i].v=id[edges[i].v];
                edges[i].u=id[edges[i].u];
                if(edges[i].u!=edges[i].v) 
                    edges[i].dis-=in[v];
            }
            n=cnt;
            root=id[root];
        }
        return ans;
    }
}MT;

int n,k,a[30];
int cost[30][30];

int solve()
{
    MT.init(n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]==1)
            MT.addedge(n,i-1,0); //注意编号从0开始，故全部-1
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(a[i]==0)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(i!=j)
                    MT.addedge(j-1,i-1,cost[i][j]); //建立反向边
        }
    return MT.DirMt(n);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&cost[i][j]);
    for(int i=1;i<=n-k;i++)
        a[i]=0;
    for(int i=n-k+1;i<=n;i++)
        a[i]=1;
    int ans=INF;
    do{
        ans=min(ans,solve());
    }while(next_permutation(a+1,a+1+n));
    if(ans==INF)
        ans=0;
    printf("%d\n",ans);
    
    return 0;
}

思路二（状压DP）

在学了在学了马上好……

程序二

ZJNU 2471 - Kronican （最小树形图/状压DP）

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原文地址：https://www.cnblogs.com/stelayuri/p/13774094.html