标签：bcb 遍历 amp loaded log ima ade 区间修改 lazy
线段树
对于维护区间内的信息，我们可使用RMQ，但这种做法的缺点是无法快速修改，而线段树这种数据结构则可以实现实时的查询、修改（单点、区间）。
原理：
线段树是一种二叉搜索树，对于每个节点，他代表区间L~R的信息，而其两个子节点分别代表L~mid、mid+1~R的信息。
建树：
只需要遍历到每个叶子节点时赋值，回溯过程中再对树进行调整
也可以进行N次单点修改，一般来说对总的时间复杂度影响不大
void build(int l,int r,int p)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(l==r)
{
s[p]=v[l];
return;
}
build(l,mid,lson);
build(mid+1,r,rson);
}
区间查询：
若想查询某一区间信息，我们可从根节点遍历。当遍历到的节点被查询区间完全覆盖的时候，便返回信息。
在建树时，我们可以选择用堆式结构，或者动态开点。
如要查询1~8的信息：
节点1~10左右节点均有1~6的信息，向下查询
节点1~5被查询区间完全包含，返回该点信息
节点6~10的左区间包含查询区间信息，向左遍历
节点6~8被查询区间完全包含，返回该点区间信息
最后获得1~5、6~8的信息，再进行整合。
如求和：
int query_s(int l,int r,int x,int y,int p)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=l&&y>=r) return s[p];
int ret=0;
if(x<=mid) ret+=query_s(l,mid,x,y,lson);
if(y>mid) ret+=query_s(mid+1,r,x,y,rson);
return ret;
}
此段代码中，我们选择把该区间的左右范围传入函数，这样可以节省空间与时间。
若使用堆式结构，那么lson = p<<1 , rson = p << 1 | 1 (p为该点的位置)
若使用动态开点，lson rson则为数组
单点修改：
对于单点修改，首先，我们要找到该点在线段树中对应的位置，再将其权值修改，在回溯的过程中修改沿途的节点。
若使用动态开点，我们则需要注意左右儿子节点是否被开出来过，这里我们用传引用的方式对p进行修改。
动态开点版：
void update(int l,int r,int x,int v,int &p)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(p==0) p=++cnt;
if(l==r)
{
m[p]=v;
s[p]=v;
return;
}
if(x<=mid) update(l,mid,x,v,lson[p]);
else update(mid+1,r,x,v,rson[p]);
m[p]=max(m[lson[p]],m[rson[p]]);
s[p]=s[lson[p]]+s[rson[p]];
}
堆式结构版：
void update(int l,int r,int x,int v,int p)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(l==r)
{
m[p]=v;
s[p]=v;
return;
}
if(x<=mid) update(l,mid,x,v,lson);
else update(mid+1,r,x,v,rson);
m[p]=max(m[lson],m[rson]);
s[p]=s[lson]+s[rson];
}
区间修改：
我们可以看出，线段树可以很方便的进行单点修改与区间查询，但区间修改却略显麻烦。
暴力来做，区间修改就是多次单点修改，那么单词修改时间复杂度就退化成了NlogN，十分不理想。
在这里，我们加入lazy数组进行优化
顾名思义，lazy数组可以减少一次区间修改的操作数（就是懒）
原理：
对于区间修改，我们可以不完成这个操作，而是像区间查询一样，把要修改的区间分割成线段树上对应的若干个节点，在这些节点的lazy上加上我们想要的值（这里讲解的是区间加和，覆盖同理）。等到查询的时候，我们再将lazy数组向下推，并且进行赋值之类的操作。
int lz[maxn<<2];
int tr[maxn<<2];
int n;
int v[maxn];
#define lson p<<1
#define rson p<<1|1
void mark(int l,int r,int p,int v)
{
int len=(r-l+1);
lz[p]+=v;
tr[p]+=len*v;
}
void pushdown(int l,int r,int p)
{
int mid=(r+l)>>1;
mark(l,mid,lson,lz[p]);
mark(mid+1,r,rson,lz[p]);
lz[p]=0;
}
void update_node(int l,int r,int x,int v,int p)
{
if(l==r){
tr[p]+=v;
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(lz[p]) pushdown(l,r,p);
if(x<=mid) update_node(l,mid,x,v,lson);
else update_node(mid+1,r,x,v,rson);
tr[p]=tr[lson]+tr[rson];
}
void update(int l,int r,int x,int y,int v,int p)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=l&&y>=r)
{
mark(l,r,p,v);
return;
}
if(lz[p]) pushdown(l,r,p);
if(x<=mid) update(l,mid,x,y,v,lson);
if(y>mid) update(mid+1,r,x,
