标签：str 欧拉函数 引入 string htm mamicode 不同 空间 not
新章节 容斥原理
基本思路：根据给出的N一般很小的原理，我们需要明确三个事情
集合是什么，条件是什么，什么满足什么不满足
然后通过二进制状态压缩的方式枚举每一个变量的存在与否
根据奇偶性对答案+或者-就可以统计出原来的答案
一般来说，其中会有很明显的集合重叠特征
t1牛皮的鲜花
#include <stdio.h> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; typedef long long ll; ll a[30]; ll n,m; int down=1; const int q=1e9+7; int ksm(int a,int k,int q) { ll temp=1; while(k) { if(k&1) temp=(ll)temp*a%q;//开ll防爆 a=(ll)a*a%q; k>>=1; } return temp; } ll C(ll a,ll b) { if(a<b) return 0;//C(A,B)=0 ll up=1; for(ll i=a;i>a-b;i--) up=(ll)i%q*up%q;//这里要先把imod了，因为i是ll，再乘就爆炸 return up*down%q; } int main() { scanf("%lld%lld",&n,&m); for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&a[i]); for(int i=1;i<=n-1;i++) down=(ll)down*i%q; down=ksm(down,q-2,q);//费马小定理，使用于mod数是质数 int res=0; for(int i=0;i<(1<<n);i++) { ll A=n+m-1,B=n-1;//每次定义一个变量；他有什么计算而来，要计算什么，会不会爆炸 int sign=1; for(int j=0;j<n;j++) { if(i>>j&1) { A-=a[j]+1; sign*=-1;//容斥原理 } } res=(ll)(res+C(A,B)*sign)%q;//每次modq，防止爆ll } printf("%d",(res+q)%q);//变成正整数 return 0; }
int 10e9 ll 1e18
void getmu(int maxx) { mu[1]=1; for(int i=2;i<=maxx;i++) { if(!vis[i]) { prime[cnt++]=i; mu[i]=-1; } for(int j=0;j<cnt,i*prime[j]<=maxx;j++) { vis[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0) break; else mu[i*prime[j]]=-mu[i];//指数的奇偶性改变 } }
6.除数函数
1.表示n的因子的k次方之和 Σ(d|n) d^k 表示对n的所有约数求和
2.k=0 时是约数个数 成为 d(n) k=1 的时候记为 bulabula(n)
除数函数都是积性函数：
约数个数：分解后为 （1+a1)*)(1+a2)... 各个素因子的贡献独立
7.欧拉函数 φ(n)表示 1-n 和 n互质的正整数的个数
1.由n的分解，加上容斥原理来求解
φ(n)=n - n/p1 -n / p2 .... 容斥原理（剪多了
=n(1-1/p1)(1-1/p2)...
=(p1^a1-1(p1-1))*(p2^a-1(p2-1))..
也就是每个质因子要单独考虑 独立性 所以是积性函数
【积性函数都有独立性】
2.n=Σ(d|n) φ（n);
证明 （n,i)=d, 那么（n/d,i/d)=1 i/d<=n/d 所以这样的i一共有φ(n/d)个
所以考虑所有的d|n 也就考虑了 1-n 的所有整数
由此 n=Σ(d|n)φ（n/d) 要注意 d和n/d 再某种意义上遍历过程是等价的，只不过是顺序相反而已
以6为例
引入新的函数 g(x)
所以说 [a/g(x)]>=[a/x]并且[a/g（x）]<=[a/x]所以说两者相等
再证明第二个定义：
结论2：[a/i]中一共最多有2根号a个不同的值，可以分块跳
#include <stdio.h> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=50020; bool st[maxn]; int prime[maxn],mob[maxn],sum[maxn]; int cnt; void init(int n) { mob[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(!st[i]) { prime[cnt++]=i; mob[i]=-1; } for(int j=0;j<cnt,i*prime[j]<=n;j++) { int t=prime[j]*i; st[t]=true; if(i%prime[j]==0) break; mob[t]=-mob[i]; } } for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+mob[i];//因为是单独计算每一段的贡献，所以需要对mob做一个前缀和 } int main() { init(50000); //for(int i=1;i<=30;i++) printf("%d ",mob[i]); int T; scanf("%d",&T); while(T--) { int a,b,c; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); a/=c;b/=c; ll res=0; int n=min(a,b); for(int l=1,r;l<=n;l=r+1) { r=min(n,min(a/(a/l),b/(b/l))); res+=(ll)(sum[r]-sum[l-1])*(a/l)*(b/l); } printf("%lld\n",res); } return 0; }
#莫比乌斯函数相关网站：https://www.cnblogs.com/peng-ym/p/8647856.html
对于狄利克雷卷积我们再进行一下复习:
8.dieichlet 狄利克雷卷积
1.设f,g是数论函数 h(n)=Σ(d|n)f(d)g(n/d)
h = f * g;【是函数一卷卷出来另一个函数，也就是两个函数的值】
2.单位函数是狄利克雷卷积的单位元 也就是 e*f=f*e=f
3.满足交换律和结合律 （d和n/d的相对性）
证明结合律：考虑求和变换顺序
4.若f，g都是积性函数 则f*g也是积性函数【保持了元素因子独立的特性】
5.许多关系可以用卷积来表示 1表示为1的常函数
6.idk（n)=n^k,id1=id(n的取值就是n）
7.除数函数：西格玛k=1*idk
8.欧拉函数 id=φ*1
然后，来到莫比乌斯变化：
1.莫比乌斯函数的两个性质
2.关于莫比乌斯反演的证明
首先需要关注的是求和符号的三个性质 ：结合律，分配率，函数律
2.二级求和符号需要前后两者等价，一般是可以将其中一种东西当做常量来求
3.非常重要的一点就是：如果说在高一级的求和符号中使用了某种变量来约束下标的话，那么之后一定要用其他的字母来作为循环变量
证明如下：
关注求和的顺序改变：前面一个是对于每一个d，i求和，下面一个就是对于每一个i，d求和，两者是相乘的性质，分配率显然满足
由此我们可以得到莫比乌斯反演的两种形式：
专题二：期望和概率
#include <stdio.h> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; const int maxn=3e5+20; int head[maxn],nex[maxn],ver[maxn],wei[maxn],tot; int n,m; double f[maxn]; int dout[maxn]; void add(int x,int y,int z) { ver[++tot]=y; wei[tot]=z; nex[tot]=head[x]; head[x]=tot; } double dp(int x) { if(f[x]>=0) return x; if(x==n) return 0; f[x]=0; for(int i=head[x];i;i=nex[i]) { int y=ver[i]; f[x]+=(wei[i]+f[y])/dout[x];//推导出来的递推式 } return f[x]; } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=m;i++) { int a,b,c; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); add(a,b,c); dout[a]++;// } memset(f,-1,sizeof(f));//记忆化搜索记住要初始化成“not number” printf("%.2f",dp(1)); return 0; }
对于空间复杂度计算的补充：
32位系统下，int、long、long long、__int64所占字节数和取值范围
字节数
char: 1字节（8位）
int: 4字节 (32位，取值范围 -2^31 ～ 2^31-1)
unsigned int : 4字节 (32位，取值范围 0 ～ 2^32-1)
long: 4字节 (32位，取值范围 -2^31 ～ 2^31-1)
unsigned long : 4字节 (32位，取值范围 0 ～ 2^32-1)
long long : 8字节(64位，取值范围 -2^63 ～ 2^63-1)
取值范围
int : -2147483648 ～ 2147483647
unsigned int : 0 ～ 4294967295
long : -2147483648 ～ 2147483647
unsigned long : 0 ～ 4294967295
long long : -9223372036854775808 ～ 9223372036854775807
unsigned long long : 0 ～ 1844674407370955161
__int64 : -9223372036854775808 ～ 9223372036854775807
unsigned __int64 : 0 ～ 1844674407370955161
T2：扑克牌
#include <stdio.h> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; const int N=15; const double INF=1e20; double f[N][N][N][N][5][5]; int A,B,C,D; double dp(int a,int b,int c,int d,int x,int y) { double &v=f[a][b][c][d][x][y]; if(a>13||b>13||c>13||d>13) return INF; if(v>=0) return v; int as=a+(x==0)+(y==0); int bs=b+(x==1)+(y==1); int cs=c+(x==2)+(y==2); int ds=d+(x==3)+(y==3); if(as>=A&&bs>=B&&cs>=C&&ds>=D) return v=0;//达到了终点状态 int sum=a+b+c+d+(x!=4)+(y!=4); sum=54-sum;//计算概率 if(sum<=0) return v=INF;//判断是否越界，这里统一用INF表示不存在的数 v=1; if(a<13) v+=(13.0-a)/sum*dp(a+1,b,c,d,x,y); if(b<13) v+=(13.0-b)/sum*dp(a,b+1,c,d,x,y); if(c<13) v+=(13.0-c)/sum*dp(a,b,c+1,d,x,y); if(d<13) v+=(13.0-d)/sum*dp(a,b,c,d+1,x,y); if(x==4) { double t=INF; for(int i=0;i<=3;i++) t=min(t,1.0/sum*dp(a,b,c,d,i,y));//注意要写上dp函数 v+=t; } if(y==4) { double t=INF; for(int i=0;i<=3;i++) t=min(t,1.0/sum*dp(a,b,c,d,x,i)); v+=t; } return v; } int main() { scanf("%d%d%d%d",&A,&B,&C,&D); memset(f,-1,sizeof(f)); double t=dp(0,0,0,0,4,4); if(t>INF/2) t=-1;//判断越界 printf("%.3lf",t); return 0; }
标签：str 欧拉函数 引入 string htm mamicode 不同 空间 not
原文地址：https://www.cnblogs.com/ILHYJ/p/13857631.html
