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这问题咕咕咕了好久，来填坑了。

问题

求斐波那契数列在模 \(p\) 意义下的循环节 \(m\) 。

解法

首先知道 \(fib\) 通项公式为 \(f(n)=\frac{A^n-B^n}{\sqrt{5}}\) ，其中 \(A=\frac{1+\sqrt{5}}{2},B=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) 。

这里有个 \(\sqrt{5}\) ，故要从二次剩余角度去分析。

对于 \(p=2\) 和 \(p=5\)

直接手玩，可得 \(p=2\) 时，\(m=3\) ；\(p=5\) 时，\(m=20\) 。

对于非 5 的奇质数

1. 若 5 是模 p 意义下的二次剩余

由费马小定理知 \(A^{p-1}≡1(mod\ p),B^{p-1}≡1(mod\ p)\)

则

可发现 \((f(0),f(1))\) 和 \((f(p-1),f(p))\) 相等，故 \(m | p-1\) 。

2. 若 5 是模 p 意义下的二次非剩余

由欧拉判别准则知 \(5^{\frac{p-1}{2}}≡-1(mod\ p)\)

同理可得

则

可发现 \((f(0),f(1))\) 和 \((f(2p+2),f(2p+3))\) 相等，故 \(m|2p+2\) 。

对于质数的幂 \(p^k\)

• 结论1

若 \(a≡1(mod\ p)\) ，则 \(a^{p^k}≡1(mod\ p^{k+1})\) 。

证明可用二项式定理，具体地，令 \(a=px+1\) ，则

设在模 \(p\) 意义下循环节长度为 \(m\) ，在模 \(p^k\) 意义下循环节长度为 \(m‘\) ，则有

故 \(A^m≡B^m(mod\ p)\)

故 \(A^{m+1}-B^{m+1}-A+B≡0(mod\ p)\) ，化简一下，得 \((A-B)(A^m-1)≡0(mod\ p)\)

所以有

很显然了，循环节 \(m‘|mp^{k-1}\) 。

可断言 \(m‘=mp^{k-1}\) （无一反例），但数学界目前暂未证明出来。

对于合数 \(p=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\)

我们记 \(g(p)\) 表示模 \(p\) 意义下的循环节长度，则满足

显然 \(g(p)=lcm_{i=1}^{k}g(p_i^{a_i})\) 。

只需要做一次 \(CRT\) 即可得到答案。

上界估计

先剔除 \(p_i=2\) 、 \(p_i=3\) 和 \(p_i=5\) ，则有

如果加入 \(p_i=2\) ，则乘上 \(3\times 2^{a_i-1}\) ；对于 \(p_i=3,5\) 同理。

故 \(g(p)\le 6\times p\) 。

斐波那契数列の循环节

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原文地址：https://www.cnblogs.com/wlzhouzhuan/p/13901190.html